Question

在平面直角坐標系xOy中（O為坐標原點），已知拋物線y=x²+bx+c過點A（4，0），B（1，-3）．
（1）求b，c的值，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）設拋物線的對稱軸為直線l，點P（m，n）是拋物線上在第一象限的點，點E與點P關于直線l對稱，點E與點F關于y軸對稱，若四邊形OAPF的面積為48，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，設M是直線l上任意一點，試判斷MP+MA是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及相應的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-因式分解法,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,線段的性質：兩點之間線段最短,勾股定理,關于x軸、y軸對稱的點的坐標

專題：綜合題

分析：（1）用待定系數(shù)法就可求出b和c，再將拋物線的解析式配成頂點式，就可解決問題．
（2）由條件可得E（4-m，n）、F（m-4，n），從而得到PF=4，由四邊形OAPF的面積為48可求出點P的縱坐標，然后代入拋物線的解析式就可求出點P的坐標．
（3）由點E與點P關于直線l對稱可得MP=ME，則有MP+MA=ME+MA，根據(jù)“兩點之間線段最短”可得AE的長就是MP+MA的最小值，只需運用勾股定理就可解決問題．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點A（4，0），B（1，-3），
∴

16+4b+c=0 1+b+c=-3

．
解得：

b=-4 c=0

．
∴y=x²-4x=（x-2）²-4．
∴拋物線的對稱軸為x=2，頂點為（2，-4）．

（2）如圖1，
∵點P（m，n）與點E關于直線x=2對稱，
∴點E的坐標為（4-m，n）．
∵點E與點F關于y軸對稱，
∴點F的坐標為（m-4，n）．
∴PF=m-（m-4）=4．
∴PF=OA=4．
∵PF∥OA，
∴四邊形OAPF是平行四邊形．
∵S_?OAPF=OA•

.

yP

.

=4n=48，
∴n=12．
∴m²-4m=n=12．
解得：m₁=6，m₂=-2．
∵點P是拋物線上在第一象限內的點，
∴m=6．
∴點P的坐標為（6，12）．

（3）過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，
在（2）的條件下，有P（6，12），E（-2，12），
則AH=4-（-2）=6，EH=12．
∵EH⊥x軸，即∠EHA=90°，
∴EA²=EH²+AH²=12²+6²=180．
∴EA=6

5

．
∵點E與點P關于直線l對稱，
∴MP=ME．
∴MP+MA=ME+MA．
根據(jù)“兩點之間線段最短”可得：
當點E、M、A共線時，MP+MA最小，最小值等于EA的長，即6

5

．
設直線AE的解析式為y=mx+n，
則

4m+n=0 -2m+n=12

，
解得：

m=-2 n=8

．
則直線AE的解析式為y=-2x+8．
當x=2時，y=4，則點M的坐標為（2，4）．
∴MP+MA取到最小值，最小值為6

5

，此時對應點M的坐標為（2，4）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、兩點之間線段最短、勾股定理、解一元二次方程、平行四邊形的判定與性質、關于拋物線對稱軸對稱及關于y軸對稱點的坐標特征等知識，有一定的綜合性．