Question

已知等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，∠ABC=∠ADE=90°
（1）如圖1，D、M分別在AB、BC上，且BD=BM．求證：四邊行CMDE為平行四邊形；
（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，求

CE

BD

的值；
（3）將圖2中的延長交于N，若∠DCH=30°，CD=2，直接寫出∠N=

 

，CN=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)等腰直角的性質(zhì)得∠A=45°，且BC∥DE，由BD=BM可判斷△BDM為等腰直角三角形，則∠BDM=45°，于是有∠BDM=∠A，根據(jù)平行線的性質(zhì)得DM∥AC，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到四邊行CMDE為平行四邊形；
（2）設(shè)等腰直角△ABC的直角邊長為a，等腰直角△ADE的直角邊長為b，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=

2

a，AE=

2

b，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DAE=45°，
而∠BAC=45°，則∠CAE=∠BAD，然后計(jì)算得到

AE

AD

=

AC

AB

=

2

，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ACE∽△ABD，利用相似比即可得到

CE

BD

=

2

；
（3）如圖3，作DM⊥CN于M，由△ACE∽△ABD得到∠ABD=∠ACE=30°，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠CDN=∠ADB，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠N+∠DCN=∠DBA+∠DAB，所以∠N=∠DAB=45°；在Rt△CDE中，CD=2，∠DCE=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DM=

1

2

CD=1，CM=

3

DM=

3

，在Rt△DMN中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得MN=DM=1，所以CN=CM+MN=

3

+1．

解答：（1）證明：∵等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠A=45°，BC∥DE，
∵BD=BM，
∴△BDM為等腰直角三角形，
∴∠BDM=45°，
∴∠BDM=∠A，
∴DM∥AC，
∴四邊行CMDE為平行四邊形；
（2）解：設(shè)等腰直角△ABC的直角邊長為a，等腰直角△ADE的直角邊長為b，則AC=

2

a，AE=

2

b，
∵將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，
∴∠DAE=45°，
而∠BAC=45°，
∴∠CAE=∠BAD
∵

AE

AD

=

2 b

b

=

2

，

AC

AB

=

2 a

a

=

2

，
∴

AE

AD

=

AC

AB

，
∴△ACE∽△ABD，
∴

CE

BD

=

2

；
（3）如圖3，作DM⊥CN于M，
∵△ACE∽△ABD，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∵∠CDN=∠ADB，
∴∠N+∠DCN=∠DBA+∠DAB，
∴∠N=∠DAB=45°，
在Rt△CDE中，CD=2，∠DCE=30°，
∴DM=

1

2

CD=1，
∴CM=

3

DM=

3

，
在Rt△DMN中，∠N=45°，
∴△DMN為等腰直角三角形，
∴MN=DM=1，
∴CN=CM+MN=

3

+1．
故答案為45°，

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算兩線段的比值；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．