Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，∠B的平分線交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F為垂足，求證：四邊形AEFD為菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定

專題：證明題

分析：首先判定該四邊形為平行四邊形，然后得到其鄰邊相等，從而證得四邊形AEFD為菱形．

解答：證明：∵∠B的平分線交AC于D，
∴∠ABD=∠DBF，
在△ABD和△FBD中，

∠ABD=∠DBF ∠BAD=∠BFD=90° BD=BD

，
∴△ABD≌△FBD，
∴∠ADE=∠EDF，AD=DF，
∵AH⊥BC，DF⊥BC，
即 AE∥DF，
∴∠AED=∠EDF=∠ADE，
∴AE=AD又AD=DF，
∴AE=DF且AE∥DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∴EF=AD且AE=AD=DF，
∴平行四邊形AEFD中AE=AD=DF=EF，
∴AEFD為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，線段垂直平分線，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，注意：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．