Question

【題目】如圖，點(diǎn)為內(nèi)部的一點(diǎn)，連接、、，，，且，若，，則線段的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長AD交BC于F，過B作BE⊥AD于E，得到△BDE是等腰直角三角形，則，然后證明△BEF≌△CDF，得到BF=CF，EF=DF；延長DA到G，使得AG=BA，然后利用三角形函數(shù)的關(guān)系，得到邊的關(guān)系，利用勾股定理構(gòu)造方程，求出DE的長度，然后求出CF，即可得到BC的長度.

解：如圖，延長AD交BC于F，過B作BE⊥AD于E，

∵AD⊥CD，，

∴，

∴，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∵∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，

∴△BEF≌△CDF，

∴BF=CF，EF=DF；

設(shè)，則EF=DF=，，

∵∠ABD+∠BAE=∠BDE=45°，∠ABD+2∠ACD=45°，

∴∠BAE=2∠ACD.

在Rt△ADC中，tan∠ACD=，

在Rt△ABE中，tan∠BAE=；

延長DA到G，使得AG=BA，

∴∠G=∠ABG=，

∴∠G=∠ACD，

在Rt△BEG中，tan∠G=，

∴，

解得：，

∴，

在Rt△ABE中，由勾股定理，得：，

即，

整理得：，

∴，或，

∵，

∴，

即DE=CD=3，

∴EF=DF=，

∴，

∴.

故答案為：.