【題目】已知:如圖1,矩形OABC的兩個頂點A,C分別在x軸,y軸上,點B的坐標(biāo)是(8,2),點P是邊BC上的一個動點,連接AP,以AP為一邊朝點B方向作正方形PADE,連接OP并延長與DE交于點M,設(shè).
(1)請用含a的代數(shù)式表示點P,E的坐標(biāo).
(2)如圖2,連接OE,并把OE繞點E逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得EF.若點F恰好落在x軸的正半軸上,求a與的值.
(3)如圖1,若點M為DE的中點,并且,點在OP的延長線上,求的最小值.
【答案】(1),;(2), ;(3).
【解析】
①根據(jù)一線三垂模型構(gòu)造兩個全等直角三角形,根據(jù)對應(yīng)邊相等,即可用a的代數(shù)式表示出E點坐標(biāo).
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出是等腰直角三角形,求出a的值和P,D,E三點坐標(biāo),再求出PO,DE兩條直線交點,從而求出M點坐標(biāo),即可求出EM,DM的長度,求出比值.
③構(gòu)造相似,用a的代數(shù)式表示出M點坐標(biāo),再根據(jù)三角函數(shù)值相等列出等式方程和a的范圍,求出a值,再通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出等腰直角三角形,從而轉(zhuǎn)化到求兩條線段和的最小值,根據(jù)三點共線最短,進(jìn)而求出兩直線交點,利用兩點間的距離公式即可求出具體值.
解:(1)如圖1中,作于N.
∵,∴,,∵,∴
∵四邊形OABC是矩形,四邊形ADEP是正方形,
∴,,
∴,,
∴,∴,
∴,,∴.
(2)如圖2中,由題意:是等腰直角三角形,∴
∵,∴
∴,,,
∴直線OP的解析式為,直線DE的解析式為
由,解得
∴,∴,
∴
(3)如圖3中,作于K.
由,可得,
∴,,∴
∵,∴,∴
∴,整理得:,解得或6
∵,∴,,,,
如圖4中,將繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到,則是等腰直角三角形.
∴的中點
∵,∴
作,則,∴
∴當(dāng)E、Q、R共線時,的值最小
∵直線PR的解析式為,∵,∴直線ER的解析式為
由,解得,∴
∴,∴的最小值為
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=﹣x+2的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象相交于A,B兩點,與x軸相交于點C.已知tan∠BOC=,點B的坐標(biāo)為(m,n).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)請直接寫出當(dāng)x<m時,y2的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸、軸分別交于點、,動點以每秒2個單位長度的速度從點向終點運動,過點作,交直線于點.設(shè),將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接.設(shè)四邊形與的重疊部分面積為(平方單位),,點的運動時間為秒.
(1)求的長;
(2)求證:四邊形是平行四邊形;
(3)求與的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】王老師從本校九年級質(zhì)量檢測的成績中隨機地抽取一些同學(xué)的數(shù)學(xué)成績做質(zhì)量分析,他先按照等級繪制這些人數(shù)學(xué)成績的扇形統(tǒng)計圖,如圖(1)所示,數(shù)學(xué)成績等級標(biāo)準(zhǔn)見表1,又按分?jǐn)?shù)段繪制成績分布表,如表2,
表1
等級 | 分?jǐn)?shù)x的范圍 |
A | a≤x≤100 |
B | 80≤x<a |
C | 60≤x<80 |
D | 0≤x<60 |
表2
分?jǐn)?shù)段 | x<60 | 60≤x<70 | 70≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x≤100 |
人數(shù) | 5 | 10 | m | 12 | n |
分?jǐn)?shù)段為90≤x≤100的n個人中,其成績的中位數(shù)是95分.
根據(jù)以上信息回答下面問題:
(1)王老師抽查了多少人?m、n的值分別是多少;
(2)小明在此考試中得了95分,他說自己在這些考試中數(shù)學(xué)成績是A等級,他說的對嗎?為什么?
(3)若此次測試數(shù)學(xué)學(xué)科普高的預(yù)測線是70分,該校九年級有900名學(xué)生,求數(shù)學(xué)學(xué)科達(dá)到普高預(yù)測線的學(xué)生約有多少人?
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【題目】某校為了解學(xué)生課外閱讀情況,就學(xué)生每周閱讀時間隨機調(diào)查了部分學(xué)生,調(diào)查結(jié)果按性別整理如下:
女生閱讀時間人數(shù)統(tǒng)計表
閱讀時間(小時) | 人數(shù) | 占女生人數(shù)百分比 |
4 | ||
5 | ||
6 | ||
2 |
根據(jù)圖表解答下列問題:
(1)在女生閱讀時間人數(shù)統(tǒng)計表中, , ;
(2)此次抽樣調(diào)查中,共抽取了 名學(xué)生,學(xué)生閱讀時間的中位數(shù)在 時間段;
(3)從閱讀時間在2~2.5小時的5名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加市級閱讀活動,恰好抽到男女生各一名的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地攤上的一種玩具,已知其進(jìn)價為元個,試銷階段發(fā)現(xiàn)將售價定為元/個時,每天可銷售個,后來為了擴(kuò)大銷售量,適當(dāng)降低了售價,銷售量(個)與降價(元)的關(guān)系如圖所示.
求銷量與降價之間的關(guān)系式;
該玩具每個降價多少元,可以恰好獲得元的利潤?
若要使得平均每天銷售這種玩具的利潤最大,則每個玩具應(yīng)該降價多少元?最大的利潤為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,王老師畫好圖后并出示如下內(nèi)容:“己知:為的直徑,過的中點,為的切線.”
(1)王老師要求同學(xué)們根據(jù)己知條件,在不添加線段與標(biāo)注字母的前提下,寫出三個正確的結(jié)論,并選擇其中一個加以證明.
(2)王老師說:如果添加條件“,”,則能求出的直徑.請你寫出求解過程,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=mx2﹣2mx﹣2m+1與x軸交于點A,B.
(1)若AB=2,求m的值;
(2)過點P(0,2)作與x軸平行的直線,交拋物線于點M,N.當(dāng)MN2時,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線交軸于點和點,交軸于點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點在拋物線上,且,求點的坐標(biāo);
(3)如圖②,設(shè)點是線段上的一動點,作軸,交拋物線于點,是否存在面積的最大值?若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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