【題目】如圖在平面直角坐標系xOy中,直線y=﹣x+6x軸、y軸分別交于B、A兩點,點P從點A開沿y軸以每秒1個單位長度的速度向點O運動,點Q從點A開始沿AB向點B運動(當PQ兩點其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動)如果點P,Q從點A同時出發(fā),設運動時間為t秒.

1)如果點Q的速度為每秒個單位長度,那么當t5時,求證:△APQ∽△ABO;

2)如果點Q的速度為每秒2個單位長度,那么多少秒時,△APQ的面積為16

3)若點H為平面內(nèi)任意一點,當t4時,以點A,P,H,Q四點為頂點的四邊形是矩形,請直接寫出此時點H的坐標.

【答案】1)證明見解析;(22秒時,△APQ的面積為16;(3)點H的坐標為:(,6),(﹣,4).

【解析】

1)根據(jù)已知得:直線與x、y軸的交點B8,0)、A0,6),AP5,AQ3,對應邊成比例且夾角相等即可證明;

2)作QEy軸于點E,用含t的式子表示APQE,利用三角形的面積即可求解;

3)根據(jù)題意畫出矩形即可寫出點H的坐標.

1)根據(jù)題意,得

t5時,AP5,AQ3

B8,0),A0,6),

OB8,OA6,∴AB10,

,∠PAQ=∠BAO,

∴△APQ∽△ABO

2)如圖:

過點QQEOA于點E,

RtAOBRtAQE中,

sinBAOsinQAE,

,

QEt

SAPQAPQE16,

×t×t16

t2

答:那么2秒時,△APQ的面積為16

3)如圖:

設點Q的速度為每秒x個單位長度,

t4時,AP4AQ4x,

∵以點AP,HQ四點為頂點的四邊形是矩形,

PQOB,

,即,

PQ,

H,6).

設點Q的速度為每秒x個單位長度,

t4時,AP4,AQ4x,

∵以點AP,H,Q四點為頂點的四邊形是矩形,

AP為矩形對角線時,

解得x

Q′C

H(﹣,4).

所以點H的坐標為:(6).(﹣,4).

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2)求出αβ   °

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