Question

如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．
（1）求證：EF∥CG；
（2）求點C，點A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的

AC

，

AG

與線段CG所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,扇形面積的計算

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ABF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行證明；
（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得△FEC和△CGF全等，從而得到S_△FEC=S_△CGF，再根據(jù)S_陰影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC-S_扇形FAG列式計算即可得解．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，
∵△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，
∴∠AFB+∠FAB=90°，
∵線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，
∴EC∥FG，
∵AF=CE，AF=FG，
∴EC=FG，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中點，
∴BF=BE=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∴AF=

AB2+BF2

=

22+12

=

5

，
由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，
∴S_△FEC=S_△CGF，
∴S_陰影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC-S_扇形FAG，
=

90•π•22

360

+

1

2

×2×1+

1

2

×（1+2）×1-

90•π•( 5 )2

360

，
=

5

2

-

π

4

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，扇形的面積計算，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．