Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）和點B（2，0）．P為拋物線在x軸上方的一點（不落在y軸上），過點P作PD∥x軸交y軸于點D，PC∥y軸交x軸于點C．設點P的橫坐標為m，矩形PDOC的周長為L．
（1）求b和c的值．
（2）求L與m之間的函數(shù)關系式．
（3）當矩形PDOC為正方形時，求m的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c建立方程組求出b和c的值即可；
（2）因為點P的橫坐標為m，且點P在y=-x²+x+2圖象上，所以可以求出點P的縱坐標，由矩形的性質進而求出點D和點C的坐標，又因為點P的位置不確定，所以要分兩種情況分別討論L和m的函數(shù)關系①當點P在第一象限時②當點P在第二象限時；
（3）當矩形PDOC為正方形時，OC=OD，則當點P在第一象限時，m=-m²+m+2；當點P在第二象限時，-m=-m²+m+2，解一元二次方求出符合題意的m值即可．

解答：解：（1）將A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c得：

-1-b+c=0 -4+2b+c=0

，
∴

b=1 c=2

，
∴y=-x²+x+2．
∴b的值為1，c的值為2；                                 
（2）∵點P的橫坐標為m，且點P在y=-x²+x+2圖象上，
∴P（m，-m²+m+2）．
∵PD∥x軸，PC∥y軸，
∴四邊形PDOC為矩形，
∴D（0，-m²+m+2），C（m，0），
①當點P在第一象限時，
∴PD=OC=m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4m+4，
∴L=-2m²+4m+4．
②當點P在第二象限時，
∴PD=OC=-m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=-2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4．
∴L=-2m²+4
∴L=-2m²+4m+4或L=-2m²+4．                        
（3）當矩形PDOC為正方形時，OC=OD，
當點P在第一象限時，m=-m²+m+2，
∴m1=

2

，m2=-

2

（舍），
當點P在第二象限時，-m=-m²+m+2，
∴m1=1+

3

（舍），m2=1-

3

．
∴當矩形PDOC為正方形時，m的值為

2

或1-

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的確定方法、矩形的判定和性質以及正方形的性質、一元二次方程的運用，題目的難點體現(xiàn)在（2）和（3）兩問中需要分類討論的數(shù)學思想，防止遺漏問題的解．