【題目】如圖,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合),DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G,DF⊥DG,且交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AE=BF;
(2)連接EF,求證:∠FEB=∠GDA;
(3)連接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面積.
【答案】(1)(2)見(jiàn)解析;(3)9
【解析】分析:(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形,求出∠A與∠C的度數(shù),根據(jù)AB為圓的直徑,利用圓周角定理得到∠ADB為直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到AD=DC=BD=AC,進(jìn)而確定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等,利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證;
(2)連接EF,BG,由三角形AED與三角形BFD全等,得到ED=FD,進(jìn)而得到三角形DEF為等腰直角三角形,利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對(duì)同位角相等,利用同位角相等兩直線平行,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和同弧所對(duì)的圓周角相等,即可得出結(jié)論;
(3)由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的長(zhǎng),利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng),利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似,由相似得比例,求出GE的長(zhǎng),由GE+ED求出GD的長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.
詳解:(1)連接BD.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,∴∠A=∠C=45°.
∵AB為圓O的直徑,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,∴AD=DC=BD=AC,∠CBD=∠C=45°,∴∠A=∠FBD.
∵DF⊥DG,∴∠FDG=90°,∴∠FDB+∠BDG=90°.
∵∠EDA+∠BDG=90°,∴∠EDA=∠FDB.在△AED和△BFD中,,∴△AED≌△BFD(ASA),∴AE=BF;
(2)連接EF,BG.
∵△AED≌△BFD,∴DE=DF.
∵∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°.
∵∠G=∠A=45°,∴∠G=∠DEF,∴GB∥EF,∴∠FEB=∠GBA.
∵∠GBA=∠GDA,∴∠FEB=∠GDA;
(3)∵AE=BF,AE=2,∴BF=2.在Rt△EBF中,∠EBF=90°,∴根據(jù)勾股定理得:EF2=EB2+BF2.
∵EB=4,BF=2,∴EF==.
∵△DEF為等腰直角三角形,∠EDF=90°,∴cos∠DEF=.
∵EF=,∴DE=×=.
∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,∴△GEB∽△AED,∴=,即GEED=AEEB,∴GE=8,即GE=,則GD=GE+ED=.
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某景區(qū)一電瓶小客車接到任務(wù)從景區(qū)大門出發(fā),向東走2千米到達(dá)A景區(qū),繼續(xù)向東走2.5千米到達(dá)B景區(qū),然后又回頭向西走8.5千米到達(dá)C景區(qū),最后回到景區(qū)大門.
(1)以景區(qū)大門為原點(diǎn),向東為正方向,以1個(gè)單位長(zhǎng)表示1千米,建立如圖所示的數(shù)軸,請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示出上述A、B、C三個(gè)景區(qū)的位置.
(2)A景區(qū)與C景區(qū)之間的距離是多少?
(3)若電瓶車充足一次電能行走15千米,則該電瓶車能否在一開(kāi)始充足電而途中不充電的情況下完成此次任務(wù)?請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的方程mx=2﹣x的解為整數(shù),且m為負(fù)整數(shù),求代數(shù)式5m2﹣[m2﹣(6m﹣5m2)﹣2(m2﹣3m)]的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀下面的知識(shí),后解答后面的問(wèn)題:
探究:如圖,在△ABC中,已知∠B=∠C,求證:AB=AC.
證明:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D, 在△ABD與△ACD中,
∠B=∠C, , , 所以△ABD≌△ACD( ),所以AB=AC.
(1)完成上述證明中的空白;
(2)已知如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠CAB.試問(wèn):AC+CD與AB相等嗎?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校計(jì)劃選購(gòu)甲、乙兩種圖書作為“校園讀書節(jié)”的獎(jiǎng)品.已知甲圖書的單價(jià)是乙圖書單價(jià)的倍;用元單獨(dú)購(gòu)買甲種圖書比單獨(dú)購(gòu)買乙種圖書要少本.
(1)甲、乙兩種圖書的單價(jià)分別為多少元?
(2)若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種圖書共本,且投入的經(jīng)費(fèi)不超過(guò)元,要使購(gòu)買的甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量,則共有幾種購(gòu)買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】實(shí)驗(yàn)室里,水平桌面上有甲、乙、丙三個(gè)圓柱形容器(容器足夠高),底面半徑之比為1:2:1,,用兩個(gè)相同的管子在容器的5cm高度處連通(即管子底端離容器底5cm),現(xiàn)三個(gè)容器中,只有甲中有水,水位高1cm,如圖所示.若每分鐘同時(shí)向乙和丙注入相同量的水,開(kāi)始注水1分鐘,乙的水位上升cm,則開(kāi)始注入 分鐘的水量后,甲與乙的水位高度之差是0.5cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4,面積是16,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于E,F點(diǎn),若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸,垂足為H,OH=3,tan∠AOH=,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,-2).
(1)求△AHO的周長(zhǎng);
(2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
【答案】(1)△AHO的周長(zhǎng)為12;(2) 反比例函數(shù)的解析式為y=,一次函數(shù)的解析式為y=-x+1.
【解析】試題分析: (1)根據(jù)正切函數(shù),可得AH的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理,可得AO的長(zhǎng),根據(jù)三角形的周長(zhǎng),可得答案;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式.
試題解析:(1)由OH=3,tan∠AOH=,得
AH=4.即A(-4,3).
由勾股定理,得
AO==5,
△AHO的周長(zhǎng)=AO+AH+OH=3+4+5=12;
(2)將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=(k≠0),得
k=-4×3=-12,
反比例函數(shù)的解析式為y=;
當(dāng)y=-2時(shí),-2=,解得x=6,即B(6,-2).
將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax+b,得
,
解得,
一次函數(shù)的解析式為y=-x+1.
考點(diǎn):反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】如圖,已知點(diǎn)A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分線與AD交于點(diǎn)D,連接CD.
求證:①AB=AD;
②CD平分∠ACE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在BC,AC且BD=CE,AD、BE相交于點(diǎn)M,
求證:(1)△AME∽△BAE;(2)BD2=AD×DM.
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