Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是

BD

的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F，交AC于點H．
（1）求證：CF=BF；
（2）求證：CB²=CH•CA；
（3）若AH=5，當BH：AB=2：3時，CH=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接BC，根據圓周角定理求出∠CAB=∠CBD，根據三角形內角和定理求出∠CAB=∠BCE，推出∠CBF=∠BCF，即可得出答案；
（2）證△CBH∽△CAB即可；
（3）根據相似得出比例式，根據已知代入，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接BC，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BDE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠BDE=∠CAB，
∵弧CD=弧BC，
∴∠CBF=∠CAB，
∴∠BCE=∠CBF，
∴CF=BF；

（2）證明：∵∠CBF=∠CAB，∠BCH=∠BCA，
∴△CBH∽△CAB，
∴

BC

CH

=

CA

BC

，
∴CB²=CH•CA；

（3）解：∵△CBH∽△CAB，BH：AB=2：3，AH=5，
∴

BH

AB

=

BC

AC

=

CH

BC

=

2

3

，
∴設CH=2x，BC=3x，
∴

3x

5+2x

=

2

3

，
x=2，
即CH=4，
故答案為：4．

點評：本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，注意：在同圓中，等弧所對的圓周角相等，題目比較好，但是有一定的難度．