Question

如圖，在梯形ABCD中，AB=4cm，CD=16cm，BC=6

3

cm，∠C=30°，動點P從點C出發(fā)沿CD方向以1cm/s的速度向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發(fā)沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求AD的長：
（2）當△PDQ的面積為12

3

cm²時，求運動時間t；
（3）當運動時間t為何值時，△PDQ的面積S達到最大，并求出S的最大值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過點B作BE⊥CD，垂足為E，求出BE、CE的長，過A作AF⊥CD，垂足為F，求出EF、AF，從而求出FD，最后根據(jù)在Rt△AFD中，AD=2DF進行計算即可；
（2）過Q作QG⊥CD，垂足為G，先證出△AFD∽△QGD，得出

AF

QG

=

AD

QD

，求出QG=

3

2

t，從而列出方程

1

2

（16-t）•

3

2

t=12

3

，求出t的值，再根據(jù)0≤t≤6，即可得出答案；
（3）由（2）可求出S=-

3

4

（t-8）²+16

3

，再根據(jù)0≤t≤6，當x＜8時，S隨t的增大而增大，即可求出S的最大值．

解答：解：（1）如圖過點B作BE⊥CD，垂足為E，
∵∠C=30°，BC=6

3

cm，
∴BE=3

3

cm，CE=9cm，
過A作AF⊥CD，垂足為F，
∴EF=AB=4cm，AF=BE=3

3

cm，
∴FD=16-9-4=3cm，
∴在Rt△AFD中，AD=2DF=6cm；

（2）如圖，CP=DQ=t，過Q作QG⊥CD，垂足為G，
∵AF⊥CD，
∴BE∥AF，
∴△AFD∽△QGD，
∴

AF

QG

=

AD

QD

，
∴

3 3

QG

=

6

t

，
∴QG=

3

2

t，
∴

1

2

（16-t）•

3

2

t=12

3

，
∴t=4s或t=12s，
∵0≤t≤6，12＞6，
∴t=12s（舍去），
∴t=4s；

（3）由（2）知S=

1

2

（16-t）•

3

2

t=-

3

4

（t-8）²+16

3

，
由題意知0≤t≤6，
∵當x＜8時，S隨t的增大而增大，
∴當t=6時，S_最大值=15

3

cm²．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)，關鍵是做出輔助線構造相似三角形．