【題目】同學(xué)們都學(xué)習(xí)過《幾何》課本第三冊(cè)第199頁的第11題,它是這樣的:如圖,A為⊙O的直徑EF上的一點(diǎn),OB是和這條直徑垂直的半徑,BA和⊙O相交于另一點(diǎn)C,過點(diǎn)C的切線和EF的延長線相交于點(diǎn)D,求證:DA=DC.

(1)現(xiàn)將圖1中的直徑EF所在直線進(jìn)行平行移動(dòng)到圖2所示的位置,此時(shí)OB與EF垂直相交于H,其它條件不變.

①求證:DA=DC;

②當(dāng)DF:EF=1:8,且DF=時(shí),求ABAC的值.

(2)將圖2中的EF所在直線繼續(xù)向上平行移動(dòng)到圖3所示的位置,使EF與OB的延長線垂直相交于H,A為EF上異于H的一點(diǎn),且AH小于⊙O的切線交EF于D,試猜想:DA=DC是否仍然成立?證明你的結(jié)論.

【答案】(1)①見解析②24(2)結(jié)論DA=DC仍然成立

【解析】

(1)①連接OC,利用切線的性質(zhì)則可得到OC⊥DC,然后得到∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC,利用等角對(duì)等邊得到DA=DC即可;
②利用DF:EF=1:8,DF=則可得到EF=8DF=8,然后利用切線長定理求得DC的長,進(jìn)而得到DC、AD的長,然后利用切線長定理得:ABAC=AEAF=24;
(2)結(jié)論仍然成立,延長BO交⊙O于K,連CK,利用切線的性質(zhì)可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK,從而得到∠DCA=∠BAH,問題得證.

(1)①證明:連OC,則OC⊥DC,

∴∠DCA=90°﹣∠ACO=90°﹣∠B,

又∠DAC=∠BAE=90°﹣∠B,

∴∠DAC=∠DCA∴DA=DC,

②∵DF:EF=1:8,DF=,

∴EF=8DF=8

又DC為切線,

∴DC2=DFDE=×9=18,

∴DC=3,

∴AD=DC=3,

∴AF=AD﹣DF=2,

∴AE=EF﹣AF=6,

∴ABAC=AEAF=24;

(2)結(jié)論DA=DC仍然成立,理由如下:

延長BO交⊙O于K,連CK,則∠KCB=90°,

又DC為⊙O的切線,

∴∠DCA=∠CKB=90°﹣∠CBK,

又∠BAH=90°﹣∠HBA,

而∠CBK=∠HBA,

∴∠DCA=∠BAH,

∴DA=DC.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,圖形G上點(diǎn)Pxy)的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差yx稱為P點(diǎn)的坐標(biāo)差,而圖形G上所有點(diǎn)的坐標(biāo)差中的最大值稱為圖形G特征值

1)①點(diǎn)A1,3)的坐標(biāo)差   ;

②拋物線y=﹣x2+3x+4特征值   ;

2)某二次函數(shù)y=﹣x2+bx+cc≠0)的特征值為﹣1,點(diǎn)Bm0)與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn),且點(diǎn)B與點(diǎn)C坐標(biāo)差相等.

①直接寫出m   ;(用含c的式子表示)

②求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線yax2+bx+c(a≠0)y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(4,0),拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,CEAB,并與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E現(xiàn)有下列結(jié)論:①b24a0;②b0;③5a+b0;④AD+CE4.其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某大學(xué)生利用暑假40天社會(huì)實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營,了解到一種成本為20/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示。

銷售量p(件)

P=50—x


銷售單價(jià)q(元/件)

當(dāng)1≤x≤20時(shí),
當(dāng)21≤x≤40時(shí),

1)請(qǐng)計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35/件?

2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

3)這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在⊙O中,AB是直徑,點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C是的中點(diǎn),弦CE⊥AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)D的切線交EC的延長線于點(diǎn)G,連接AD,分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q,連接AC.給出下列結(jié)論:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點(diǎn)P是△ACQ的外心;④APAD=CQCB.其中正確的是_____(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:拋物線ymx2+m2x2m+2m0).

1)求證:拋物線與x軸有交點(diǎn);

2)若拋物線與x軸交于點(diǎn)Ax10),Bx20),點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè),且x1+2x21

m的值;

點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Gn,﹣n),求PG的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是某同學(xué)對(duì)一道作業(yè)題的解題思路,課堂上師生據(jù)此展開了討論.問題如圖,已知A(1,)、B(4,0),∠OAB的平分線AC交x軸于點(diǎn)C,求OC的長.思路:作AD⊥OB,CE⊥AB,CF⊥OA

①A坐標(biāo)→OD=1,AD=,OA=2→∠AOC=60°;

②A、B坐標(biāo)→OA=2,OB=4,AB=2→∠OAB=90°;

③AC平分∠OAB→CE=CF;

④S△AOC+S△ABC=S△AOB→AOCF+ABCE=OAAB→CF=3﹣;

⑤綜上,Rt△OCF中,OC=﹣2.可以優(yōu)化嗎?

(1)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)不需要證“∠OAB=90°”也能求解,簡(jiǎn)要說明理由.幾位同學(xué)提出了不同的思路

①甲說:S△AOC和S△ABC的面積之比既是,又是,從而;

②乙說:在AB邊上取點(diǎn)G,使AG=AO,連接CG,可知BG的長即為所求;

③丙說:延長AC交△AOB的外接圓于N,再利用一次函數(shù)或相似求出OC.

請(qǐng)你選擇其中一種解法,利用圖2和已有步驟完成解答.有什么收獲?

(2)面積法是圖形問題中確定數(shù)量關(guān)系的有效方法,請(qǐng)利用面積法求解:如圖1,⊙O與△ABC的邊AC,邊BA、BC的延長線AE、CF相切,切點(diǎn)分別為D、E、F.設(shè)△ABC的面積為S,BC=a,AC=b,AB=c,請(qǐng)用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半徑R,直接寫出結(jié)果.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知:關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)y軸上是否存在一點(diǎn)P,使PBC為等腰三角形.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M 達(dá)點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),MNB面積最大,試求出最大面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,點(diǎn)O在邊AB上,以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線MN,使∠BCM=2∠A

1)判斷直線MN⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

2)若OA=4,∠BCM=60°,求圖中陰影部分的面積.

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