【題目】如圖,已知:關于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)在y軸上是否存在一點P,使△PBC為等腰三角形.若存在,請求出點P的坐標;
(3)有一個點M從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動,另一個點N從點D與點M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動,當點M到 達點B時,點M、N同時停止運動,問點M、N運動到何處時,△MNB面積最大,試求出最大面積.
【答案】(1);(2)存在;(3)1.
【解析】試題分析:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程組,解方程組即可得二次函數(shù)的表達式;
(2)先求出點B的坐標,再根據(jù)勾股定理求得BC的長,當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論:①CP=CB;②BP=BC;③PB=PC;分別根據(jù)這三種情況求出點P的坐標;
(3)設AM=t則DN=2t,由AB=2,得BM=2﹣t,S△MNB=×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t,把解析式化為頂點式,根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得△MNB最大面積;此時點M在D點,點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處.
試題解析:解:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,
解得:b=﹣4,c=3,
∴二次函數(shù)的表達式為:y=x2﹣4x+3;
(2)令y=0,則x2﹣4x+3=0,
解得:x=1或x=3,
∴B(3,0),
∴BC=3,
點P在y軸上,當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論:如圖1,
①當CP=CB時,PC=3,∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1(0,3+3),P2(0,3﹣3);
②當PB=PC時,OP=OB=3,
∴P3(﹣3,0);
③當BP=BC時,
∵OC=OB=3
∴此時P與O重合,
∴P4(0,0);
綜上所述,點P的坐標為:(0,3+3)或(0,3﹣3)或(﹣3,0)或(0,0);
(3)如圖2,設AM=t,由AB=2,得BM=2﹣t,則DN=2t,
∴S△MNB=×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t=﹣(t﹣1)2+1,
當點M出發(fā)1秒到達D點時,△MNB面積最大,最大面積是1.此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處.
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【題目】如圖,點E為矩形ABCD外一點,AE=DE,連接EB、EC分別與AD相交于點F、G.求證:
(1)△EAB≌△EDC;
(2)∠EFG=∠EGF.
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【題目】【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點,與y軸交于C點,過點A作AH⊥y軸,垂足為H,OH=3,tan∠AOH=,點B的坐標為(m,-2).
(1)求△AHO的周長;
(2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
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【題目】現(xiàn)將三張形狀、大小完全相同的平行四邊形透明紙片分別放在方格紙中,方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,并且平行四邊形 紙片的每個頂點與小正方形的頂點重合(如圖①、圖②、圖③).
圖②矩形(正方形)
,
分別在圖①、圖②、圖③中,經(jīng)過平行四邊形紙片的任意一個頂點畫一條裁剪線,沿此裁剪線將平行四邊形紙片裁成兩部分,并把這兩部分重新拼成符合下列要求的幾何圖形.
要求:
(1)在左邊的平行四邊形紙片中畫一條裁剪線,然后在右邊相對應的方格紙中,按實際大小畫出所拼成的符合要求的幾何圖形.
(2)裁成的兩部分在拼成幾何圖形時要互不重疊且不留空隙.
(3)所畫出的幾何圖形的各頂點必須與小正方形的頂點重合.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,點E在AD邊上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.
(1)求證:△ABE∽△DEF;
(2)求EF的長.
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【題目】如圖,BF為⊙O的直徑,直線AC交⊙O于A,B兩點,點D在⊙O上,BD平分∠OBC,DE⊥AC于點E.
(1)求證:直線DE是⊙O的切線;
(2)若 BF=10,sin∠BDE=,求DE的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,△ABC的位置如圖所示(每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形).
(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個單位,畫出平移后得到的△A1B1C1;
(2)將△ABC繞著點A順時針旋轉90°,畫出旋轉后得到的△AB2C2,并直接寫出點B2、C2的坐標.
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【題目】隨著通訊技術的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷.某校數(shù)學興趣小組設計了“你最喜歡的溝通方式”調查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內隨機調查了部分學生,將統(tǒng)計結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次統(tǒng)計共抽查了 名學生;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校共有1500名學生,請估計該校最喜歡用“微信”進行溝通的學生有多少名?
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