【題目】小強(qiáng)遇到這樣一個問題:如圖1,在ABC中,點D在線段BC上,BAD=75°,CAD=30°, AD=2,BD=2DC,求AC的長

小強(qiáng)發(fā)現(xiàn),過點C作CEAB,交AD的延長線于點E,通過構(gòu)造ACE,經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決(如圖2)

(1)請回答:ACE的度數(shù)為 ,AC的長為

參考小強(qiáng)思考問題的方法,解決問題:

(2)如圖3,在四邊形ABCD中,BAC=90°CAD=30°,ADC=75°,AC與BD交于點E,AE=2,BE=2ED,求BC的長

【答案】(1)75°,AC的長為3;(2).

【解析】

試題分析:(1)過點C作CEAB,交AD的延長線于點E,可知E=BAD=75°,因為CAD=30°,所以利用三角形內(nèi)角和可算出ACE的度數(shù)是75度,再利用平行線分線段成比例定理得出DE=1,AE=2+1=3,所以AC=AE=3;(2)先建立平行線,過點D作DFAC于點F.得到ABDF,由平行線分線段成比例定理得到,由AE=2,得EF=1,AF=3,在RtAFD中,由FAD=30°,可算出DF和AD的長度,又因為AD=AC,于是可知道AB和AC的長度,再由勾股定理算出BC的長度即可.

試題解析:(1)過點C作CEAB,交AD的延長線于點E,由兩直線平行內(nèi)錯角相等可知E=BAD=75°,因為CAD=30°,所以利用三角形內(nèi)角和可算出ACE=180-75-30=75,再利用平行線分線段成比例定理得出CD:BD=ED:AD,因為AD=2,BD=2DC,所以DE=1,于是AE=2+1=3,因為AC=AE,所以AC的長為3;(2)過點D作DFAC于點F.

∵∠BAC=90°=DFA,ABDF,∴△ABE∽△FDE,,AE=2,EF=1,AF=2+1=3,AB=2DF.在ACD中,∵∠CAD=30°,ADC=75°∴∠ACD=75°,∴∠ADC=ACD,AC=AD.DFAC,∴∠AFD=90°,在RtAFD中,FAD=30°,設(shè)DF=x, 則AD=2x,,解得:(舍去),DF=,AB=AC=AD=,BC==.

練習(xí)冊系列答案
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