Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠DCB=∠A．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若∠D=30°，BD=10cm．求：
①⊙O的半徑；
②圓中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）首先連接CO，進(jìn)而得出∠CAB+∠CBA=90°，再得出∠OCB+∠BCD=90°，即可得出答案；
（2）①利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出即可；
②利用S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC求出即可．

解答：（1）證明：連接CO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DCB=∠A，
∴∠CBA+∠BCD=90°，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠CBO，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴DC⊥CO，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：①∵∠D=30°，
∴CO=

1

2

DO，∠COD=60°，
∴△CBO是等邊三角形，
∴CO=BO，
∴BD=BO=CO=10cm；

②過(guò)C作CE⊥AB，
∵CO=10cm，∠COB=60°，
∴CE=CO×sin60°=5

3

cm，∠AOC=120°，
S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC=

120π×102

360

-

1

2

×10×5

3

=（

100π

3

-25

3

）cm²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和扇形面積公式等知識(shí)，得出△CBO是等邊三角形是解題關(guān)鍵．