【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,BD交于點M.填空:
①的值為 ;
②∠AMB的度數(shù)為 .
(2)類比探究
如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC交BD的延長線于點M.請判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點M,若OD=1,OB=,請直接寫出當(dāng)點C與點M重合時AC的長.
【答案】(1)①1;②40°;(2),90°;(3)AC的長為3或2.
【解析】
(1)①證明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值為1;
②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得:∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;
(2)根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD,則,由全等三角形的性質(zhì)得∠AMB的度數(shù);
(3)正確畫圖形,當(dāng)點C與點M重合時,有兩種情況:如圖3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,則∠AMB=90°,,可得AC的長.
(1)問題發(fā)現(xiàn):
①如圖1,
∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠COA=∠DOB,
∵OC=OD,OA=OB,
∴△COA≌△DOB(SAS),
∴AC=BD,
∴
②∵△COA≌△DOB,
∴∠CAO=∠DBO,
∵∠AOB=40°,
∴∠OAB+∠ABO=140°,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°,
(2)類比探究:
如圖2,,∠AMB=90°,理由是:
Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,
∴,
同理得:,
∴,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴ ,∠CAO=∠DBO,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠MAB+∠ABM)=180°-(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;
(3)拓展延伸:
①點C與點M重合時,如圖3,
同理得:△AOC∽△BOD,
∴∠AMB=90°,,
設(shè)BD=x,則AC=x,
Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,
∴CD=2,BC=x-2,
Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,
∴AB=2OB=2,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x2)2=(2)2,
x2-x-6=0,
(x-3)(x+2)=0,
x1=3,x2=-2,
∴AC=3;
②點C與點M重合時,如圖4,
同理得:∠AMB=90°,,
設(shè)BD=x,則AC=x,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x+2)2=(2)2.
x2+x-6=0,
(x+3)(x-2)=0,
x1=-3,x2=2,
∴AC=2;.
綜上所述,AC的長為3或2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于正整數(shù),定義,其中表示的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和.例如:,.規(guī)定,(為正整數(shù)),例如,,.按此定義,則由__________,___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算張老師在黑板上寫了三個算式,希望同學(xué)們認(rèn)真觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
請你結(jié)合這些算式,解答下列問題:
(1)請你再寫出另外兩個符合上述規(guī)律的算式;
(2)驗證規(guī)律:設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2n+1,2n–1(其中n為正整數(shù)),則它們的平方差是8的倍數(shù);
(3)拓展延伸:“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)”,這個結(jié)論正確嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點F從菱形ABCD的頂點A出發(fā),沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B,圖2是點F運動時,△FBC的面積y(cm2)隨時間x(s)變化的關(guān)系圖象,則a的值為( 。
A. B. 2 C. D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先計算,再找出規(guī)律,然后根據(jù)規(guī)律填空.
(1)計算:
①(a-1)(a+1)=________;
②(a-1)(a2+a+1)=________;
③(a-1)(a3+a2+a+1)=________.
(2)根據(jù)(1)中的計算,用字母表示出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,直接寫出結(jié)果:
①(a-1)(a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1)=_____________________
②若(a-1)·M=a15-1,則M=_____________________
③(a-b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)=_____________________
④(2x-1)(16x4+8x3+4x2+2x+1)=_____________________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在數(shù)軸上點表示的數(shù)為-2,0,6.點與點之間的距離表示為,點與點之間的距離表示為,點與點之間的距離表示為.
(1)請直接寫出結(jié)果, . . .
(2)點為線段上的一個動點,其對應(yīng)的數(shù)為,請化簡式子,(寫出化簡過程)
(3)點開始在數(shù)軸上運動,若點以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點和點分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動.請問:的值是否隨著運動時間的變化而變化?若變化,請說明理由;若不變,請求其值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,每個圖案均由邊長相等的黑、白兩色正力形按規(guī)律拼接面成,照此規(guī)律,第n個圖案中白色正方形比黑色正方形( )個.
A.nB.(5n+3)C.(5n+2)D.(4n+3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列判定中,正確的個數(shù)有( )
①一組對邊平行,一組對邊相等的四邊形是平行四邊形;
②對角線互相平分且相等的四邊形是矩形;
③對角線互相垂直的四邊形是菱形;
④對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形,
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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