Question

【題目】已知線段，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn).

(1)如圖1，當(dāng)且為中點(diǎn)時(shí)，求的值.

(2)如圖2，當(dāng)，=時(shí)，求tan∠的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)tan∠BPC=.

【解析】

（1）連結(jié)AB、CD，首先證明點(diǎn)P為△OAB的重心，得到，然后利用勾股定理求出AP即可；

（2）延長AC至點(diǎn)H，使CH=CA，連接BH，易證△BCH≌△OCA，得到BH=OA，∠CBH=∠O，然后設(shè)AD=t，OD=3t，則BH=OA=OB=4t，根據(jù)△HBP∽△ADP列比例式求出BP=4t，得到BH=BP，然后根據(jù)tan∠BPC=tan∠H求解即可.

解：(1)連結(jié)AB、CD，

∵C、D分別為OB、OA的中點(diǎn)，

∴AC、BD為△OAB邊OB、OA的中線，

∴點(diǎn)P為△OAB的重心，

∴，

∵，，

∴在Rt△AOC中，，

∴；

(2)延長AC至點(diǎn)H，使CH=CA，連接BH，

∵C是OB的中點(diǎn)，

易得△BCH≌△OCA（SAS），

∴BH=OA，∠CBH=∠O，

由，設(shè)AD=t，OD=3t，則BH=OA=OB=4t，

在Rt△BOD中，BD=，

∵∠CBH=∠O，

∴OA//BH，

∴△HBP∽△ADP，

∴，

∴BP=4PD=BD=4t，

∴BH=BP，

∴∠BPC=∠H，

∴tan∠BPC=tan∠H===.