Question

如圖，已知∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，AB與⊙O相切于D，AO的延長線交BC于E．證明：AD•AE=AO•AC．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：設(shè)⊙O與AC交于點F，連接AF，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出OF⊥AC，即可證明△AOF∽△AEC，進而得出比例式，再轉(zhuǎn)化為乘積式．

解答：證明：設(shè)⊙O與AC交于點F，連接AF，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AFO=∠C，
∴△AOF∽△AEC，
∴

AF

AC

=

AO

AE

，
∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，
∴AD=AF，
∴

AD

AC

=

AO

AE

，
∴AD•AE=AO•AC，
即AD•AE=AO•AC．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是一道綜合性較強的題目，難度不大．