Question

已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，若⊙O只與△ABC的兩邊相切，且切點(diǎn)均在邊上，則⊙O的半徑r的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=DC=4，AD平分∠BAC，利用勾股定理得AD=3；若⊙O只與△ABC的AB、AC兩邊相切，則圓心O在AD上，當(dāng)切點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C時(shí)，⊙O的半徑r最大，連OB、OC，易證Rt△ABD∽R(shí)t△AOB，利用相似比可求出OD=

16

3

，在Rt△OBD中利用勾股定理可計(jì)算出OB=

20

3

，而當(dāng)圓心在O′時(shí)，與三邊都相切，設(shè)與AB的切點(diǎn)為E，連O′E，易證Rt△AEO′∽R(shí)t△ADB，利用相似比可求出OD=

4

3

；若⊙O只與△ABC的BA、BC兩邊相切，當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，⊙O的半徑r最大，最大半徑小于AD=3，由此得到⊙O的半徑r的取值范圍是0＜r≤

20

3

，且r≠

4

3

．

解答：解：過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D，如圖，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=DC=4，AD平分∠BAC，
∴AD=

AB2-BD2

=3；
若⊙O只與△ABC的AB、AC兩邊相切，則圓心O在AD上
當(dāng)切點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C時(shí)，⊙O的半徑r最大，
連OB、OC，如圖，
∴OB⊥AB，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△AOB，
∴AB：AO=AD：AB，即5：（OD+3）=3：5，
∴OD=

16

3

，
在Rt△OBD中，
OB=

BD2+OD2

=

32+( 16 3 ) 2

=

20

3

，
而當(dāng)圓心在O′時(shí)，與三邊都相切，設(shè)與AB的切點(diǎn)為E，連O′E，如圖，
則O′E⊥AB，O′E=O′D，
∴Rt△AEO′∽R(shí)t△ADB，
∴O′E：BD=AO′：AB，即O′E：4=（3-O′E）：5，
∴O′E=

4

3

，
∴⊙O的半徑r的取值范圍是0＜r≤

20

3

，且r≠

4

3

；
若⊙O只與△ABC的BA、BC兩邊相切，
當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，⊙O的半徑r最大，最大半徑小于AD=3，
所以⊙O的半徑r的取值范圍是0＜r≤

20

3

，且r≠

4

3

．
故答案為0＜r≤

20

3

，且r≠

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．