Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12，BC=4

3

，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．一動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后，立即以原速度沿AO返回；另一動(dòng)點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OB勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線AB的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)G恰好落在CD上時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）設(shè)EG與矩形ABCD的對(duì)角線AC的交點(diǎn)為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)G恰好落在CD上時(shí)，OG=BC，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得EO=4，即可求得t值；
（2）按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點(diǎn)，分為0≤t＜4，4≤t＜6，6≤t＜10，10≤t＜14，14≤t＜18五種情況，分別寫出函數(shù)關(guān)系式；
（3）存在．當(dāng)△AOH是等腰三角形時(shí)，分為AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三種情況，分別畫出圖形，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，列方程求t的值．

解答：解：（1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)G恰好落在CD上時(shí)，
∵點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)
∴OG=BC=4

3

，
∵在△EOG中，∠EGO=30°，
∴

EO

GO

=

1

3

，
∴EO=4
∴t=4s時(shí)，等邊△EFG的頂點(diǎn)G恰好落在CD上．

（2）①當(dāng)點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部及在邊長(zhǎng)CD上這段時(shí)間，即t在0-4s，重疊部分的面積為△EFG的面積，
設(shè)△EFG的高為h，
根據(jù)已知可得，EF=2t，h=

3

t，
故S_△GEF=

1

2

•EF•h=

1

2

2t•（

3

t）=

3

t²，（0≤t＜4），

②如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在矩形ABCD外部，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A這段時(shí)間，即t在4-6s（AO=6），
設(shè)EG、FG分別與CD交于點(diǎn)M，N，△GMN的高為h₁，
則h₁=h-BC=

3

t-4

3

，
易得△GMN∽△GEF，
∴

S△GMN

S△GEF

=

h12

h2

∴S_△GMN=

3

t²•

( 3 t-4 3 )2

( 3 t)2

=

3

（t-4）²，
∴S_{四邊形EMNF}=S_△GEF-S_△GMN=

3

t²-

3

（t-4）²=8

3

t-16

3

，（4≤t＜6），
③當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)正好在B點(diǎn)，此時(shí)等邊△GEF圖形不再變化，保持向右平移，故重疊面積仍為S_{五邊形EMNPB}，直到點(diǎn)N與C點(diǎn)重合，如圖2．
設(shè)FG與BC交于點(diǎn)P，EF中點(diǎn)為O′，△GMN中的高為h₂，連接O′G，
∵在等邊△EFG中，EF=12，
∴O′F=6，GO′=6

3

，
∵在Rt△BPF中，∠BPF=∠O′GF=30°，
∴

BF

PB

=

1

3

，
∵BF=AE=t-6，
∴PB=

3

（t-6），
∵h(yuǎn)₂=GO′-BC=6

3

-4

3

=2

3

，
∴MN=4，
∴S=S_梯形EMNF-S_△BPF=

1

2

•（4+12）•4

3

-

1

2

•（t-6）•

3

（t-6）=-

3

2

t²+6

3

t+14

3

當(dāng)點(diǎn)N與C點(diǎn)重合時(shí)，PB=BC，
即：4

3

=

3

（t-6），
∴t=10s，
故6≤t＜10，重疊面積為=-

3

2

t²+6

3

t+14

3

④點(diǎn)E繼續(xù)移動(dòng)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合前這段時(shí)間，重疊面積為S_{四邊形EBCM}，如圖3，
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，EB=4，AE=8，
運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為8+6=14s
即10≤t＜14，
由圖可知，EB=t-10，
易得等邊△GCM的高為2

3

，
即CM=4，
故S_{四邊形EBCM}=

1

2

•（4+t-10）•4

3

=2

3

t-12

3

（10＜t≤14），

⑤點(diǎn)E繼續(xù)移動(dòng)，重疊面積為S_△EBQ，直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，設(shè)EG與BC相交于點(diǎn)Q，
EB=t-14，易得EQ=

3

（t-14），
S_△EBC=

1

2

•（t-14）•

3

（t-14）=

3

2

（t-14）²，（14≤t＜18），

綜上所述，S=

3 t2(0≤t＜6) 8 3 t-16 3 (4≤t＜10) - 3 2 t2+6 3 t+14 3 (6≤t＜10) 2 3 t-12 3 (10≤t＜14) 3 2 (t-14)2(14≤t＜18)

．

（3）存在．理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB=

BC

AB

=

3

3

，
∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=6-t或t-6，
①當(dāng)AH=AO=6時(shí)，（如圖4），過點(diǎn)E作EI⊥AH于I，
則AI=

1

2

AH=3，
在Rt△AIE中，cos∠IAE=

AI

AE

，
即cos30°=

3

AE

，
∴AE=2

3

，即6-t=2

3

或t-6=2

3

，
∴t=6-2

3

或6+2

3

，
②當(dāng)HA=HO時(shí)，（如圖5）則∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=6，
∴AE+2AE=6，AE=2，
即6-t=2或t-6=2，
∴t=4s或t=8s；

③當(dāng)OH=OA時(shí)，則∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，
∴AE=AO=6，
∴t=6+6=12s；
綜上所述，存在5個(gè)這樣的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=6-2

3

或6+2

3

或t=4或t=8或t=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊三角形、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的有關(guān)知識(shí)．關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分類討論．