Question

【題目】（定義學(xué)習(xí)）

定義:如果四邊形有一組對(duì)角為直角，那么我們稱這樣的四邊形為“對(duì)直四邊形”

（判斷嘗試）

在①梯形;②矩形:③菱形中，是“對(duì)直四邊形”的是哪一個(gè). (填序號(hào))

（操作探究）

在菱形ABCD中，于點(diǎn)E,請(qǐng)?jiān)谶?/span>AD和CD上各找一點(diǎn)F,使得以點(diǎn)A、E、C、F組成的四邊形為“對(duì)直四邊形”，畫出示意圖，并直接寫出EF的長(zhǎng)，

（實(shí)踐應(yīng)用）

某加工廠有一批四邊形板材，形狀如圖所示，若AB=3米，AD=1米，

.現(xiàn)根據(jù)客戶要求，需將每張四邊形板材進(jìn)一步分割成兩個(gè)等腰三角形板材和一個(gè)“對(duì)直四邊形"板材，且這兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)相等，要求材料充分利用無剩余.求分割后得到的等腰三角形的腰長(zhǎng)，

Answer 1

【答案】【判斷嘗試】②；【操作探究】EF的長(zhǎng)為2，EF的長(zhǎng)為；【實(shí)踐應(yīng)用】方案1：兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)都為米．理由見解析，方案2：兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)都為2米．理由見解析，方案3：兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)都為米，理由見解析．方案4：兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)都為米，理由見解析．

【解析】

[判斷嘗試]根據(jù)“對(duì)直四邊形”定義和①梯形;②矩形:③菱形的性質(zhì)逐一分析即可解答.

[操作探究]由菱形性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)即可求得EF的長(zhǎng).

[實(shí)踐應(yīng)用]先作出“對(duì)直四邊形”，容易得到另兩個(gè)等腰三角形，再利用等腰三角形性質(zhì)和勾股定理即可求出腰長(zhǎng).

解： [判斷嘗試]

①梯形不可能一組對(duì)角為直角;③菱形中只有正方形的一組對(duì)角為直角，②矩形四個(gè)角都是直角，故矩形有一組對(duì)角為直角，為“對(duì)直四邊形”，

故答案為② ，

[操作探究]

F在邊AD上時(shí)，如圖：

∴四邊形AECF是矩形，

∴AE=CE，

又∵，

∴BE=1，AE=，CE=AF=1，

∴在Rt△AEF中，EF==2

EF的長(zhǎng)為2.

F在邊CD上時(shí)，AF⊥CD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2，∠B=∠D=60°，

又∵AE⊥BC，

∴∠BAE=∠BAF=30°，

∴AE=AF=，

∵∠BAD=120°，

∴∠EAF=60°，

∴△AEF為等邊三角形，

∴EF=AF=AE=

即：EF的長(zhǎng)為；

故答案為2，.

[實(shí)踐應(yīng)用]

方案1：如圖①，作，則四邊形ABCD分為等腰、等腰、“對(duì)直四邊形”ABED，其中兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)都為米．

理由：∵，∴四邊形ABED為矩形，

∴3米，

∵，

∴△DEC為等腰直角三角形，

∴DE=EC=3米，

∴DC=米，

∵，

∴=DC=米．

方案2：如圖②，作，則四邊形ABCD分為等腰△FEB、等腰△FEC、“對(duì)直四邊形”ABED，其中兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)都為2米．

理由：作，由（1）可知3米，BG=AD=1米，

∴BC=1+3=4米，

∵，

∴△BEC為等腰直角三角形，

∵，

∴BC=2米．

方案3：如圖③，作CD、BC的垂直平分線交于點(diǎn)E，連接ED、EB，則四邊形ABCD分為等腰△CED、等腰△CEB、“對(duì)直四邊形”ABED，其中兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)都為米．

理由：連接CE，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，

∵CD、BC的垂直平分線交于點(diǎn)E，∴，∴，

∴

．

連接DB，

DB==，

∵ED=EB，

∴△BED為等腰直角三角形，

∴ED=米，

∴米．

方案4：如圖④，作，交AB于點(diǎn)E，，

則四邊形ABCD分為等腰△AFE、等腰△AFD、“對(duì)直四邊形”BEDC，其中兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)都為米．

理由：作，交AB于點(diǎn)E，可證∠ADE45°，

∵，

∴△ADE為等腰直角三角形，

∴DE =米，

作，

∴DE=米．