Question

如圖，某工程隊準備在山坡（山坡視為直線l）上修一條路，需要測量山坡的坡度，即tanα的值．測量員在山坡P處（不計此人身高）觀察對面山頂上的一座鐵塔，測得塔尖C的仰角為37°，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，圖中的點O、B、C、A、P在同一平面內(nèi)．

求：
（1）P到OC的距離．
（2）山坡的坡度tanα．
（參考數(shù)據(jù)sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題,解直角三角形的應用-坡度坡角問題

專題：

分析：（1）過點P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PD•tan37°；再根據(jù)CD-BD=BC，列出方程，求出PD=320即可求得點P到OC的距離；
（2）利用求得的線段PD的長求出PE=60，AE=120，然后在△APE中利用三角函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：（1）如圖，過點P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形．
在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，
∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；
在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，
∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°；
∵CD-BD=BC，
∴PD•tan37°-PD•tan26.6°=80，
∴0.75PD-0.50PD=80，
解得PD=320（米），
∴P到OC的距離為320米；

（2）在Rt△PBD中，BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160（米），
∵OB=220米，
∴PE=OD=OB-BD=60米，
∵OE=PD=320米，
∴AE=OE-OA=320-200=120（米），
∴tanα=

PE

AE

=

60

120

=

1

2

，
∴坡度為1：2．

點評：本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，難度適中，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解是解題的關鍵．