Question

如圖，△ABC中，BC >AC，點(diǎn)D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分線交AD于點(diǎn)F，E是AB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥BD ；

（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四邊形BDFE的面積．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可推出△ADC為等腰三角形，CF為頂角的角平分線，所以也是底邊上的中線和高，因此F為AD的中點(diǎn)，所以EF為△ABD的中位線，即EF∥BD.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以推出△AEF∽△ABD，且S△AEF：S△ABD=1：4，所以S△AEF：S四邊形BDEF=1：3，即可求出△AEF的面積，從而由求得四邊形BDFE的面積．

（1）∵ CA=CD，CF平分∠ACB，∴ CF是AD邊的中線．

∵ E是AB的中點(diǎn)，∴ EF是△ABD的中位線．

∴ EF∥BD .

（2）∵ ∠ACB=60°，CA=CD，∴ △CAD是等邊三角形．

∴ ∠ADC=60°，AD=DC=AC=8．∴ BD=BC-CD=4．

如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M ．

∴ ．．

∵ EF∥BD ，∴ △AEF ∽△ABD ，且．

∴ ．∴．

四邊形BDFE的面積=．

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形中位線定理；3.等邊三角形的判定和性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用．