Question

在△ABC中，CA＝CB，在△AED中， DA＝DE，點D、E分別在CA、AB上．

（1）如圖①，若∠ACB＝∠ADE＝90°，則CD與BE的數(shù)量關系是 ；

（2）若∠ACB＝∠ADE＝120°，將△AED繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則CD與BE的數(shù)量關系是 ；，

（3）若∠ACB＝∠ADE＝2α（0°< α < 90°），將△AED繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，探究線段CD與BE的數(shù)量關系，并加以證明(用含α的式子表示)．

 

 

Answer 1

（1）BE＝CD；（2）BE＝CD；（3）BE=2CD·sinα，證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知，△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，所以有AE=AD，AB=AC，從而有，即BE＝CD.

（2）如圖，分別過點C、D作CM⊥AB于點M，DN⊥AE于點N，

∵CA＝CB，DA＝DE，∠ACB＝∠ADE=120°，

∴∠CAB＝∠DAE，∠ACM＝∠ADN=60° ，AM=AB，AN=AE．

∴∠CAD＝∠BAE．

在Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM==，sin∠ADN==，

∴．∴．

又∵∠CAD＝∠BAE，∴△BAE∽△CAD．∴.∴BE＝CD．

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義求得，再由△BAE∽△CAD得出，從而得出結論.

（1）BE＝CD.

（2）BE＝CD.

（3）BE=2CD·sinα．證明如下：

如圖，分別過點C、D作CM⊥AB于點M，DN⊥AE于點N，

∵CA＝CB，DA＝DE，∠ACB＝∠ADE=2α ，

∴∠CAB＝∠DAE，∠ACM＝∠ADN=α ，AM=AB，AN=AE．

∴∠CAD＝∠BAE．

在Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM=，sin∠ADN=，

∴．∴．

又∵∠CAD＝∠BAE，∴△BAE∽△CAD．∴.

∴BE=2DC·sinα．

考點：1.旋轉(zhuǎn)問題；2．等腰（直角）三角形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)定義；4.相似三角形的判定和性質(zhì).