Question

已知拋物線與直線y=kx都經(jīng)過原點和點E．
（1）k=______；
（2）如圖，點P是直線y=kx（x＞0）上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足是點C，交拋物線于點B，過點B作x軸的平行線交直線y=kx于點D，連接OB；若以B、P、D為頂點的三角形與△OBC相似，則點P的坐標是______．

Answer 1

解：（1）∵直線y=kx經(jīng)過點E（，），
∴k=，
解得k=；

（2）由（1）可知直線解析式為y=x，
設(shè)點P的橫坐標為x，則點P（x，x），B（x，-x²+2x），
∵BD∥x軸，
∴∠BDP=∠POC，
∴tan∠BDP=tan∠POC=，
即=，
又∠DBP=∠BCO=90°，
①當∠BDP=∠BOC時，兩三角形相似，
所以，=，
即=，
整理得，|x-4|=，
所以，x-4=或x-4=-，
解得x=或x=，
當x=時，y=x=×=，
當x=時，y=x=×=，此時點B、P重合，△BPD不存在，
所以，點P（，）；
②∠BDP與∠BOC互余時，∠BDP=∠OBC，兩三角形相似，
cot∠BOC=tan∠BDP=，
所以，=，
即=，
整理得，|x-4|=3，
所以，x-4=3或x-4=-3，
解得x=7或x=1，
當x=7時，y=x=×7=，
當x=1時，y=x=×1=，
所以，點P（7，）或（1，），
綜上所述，點P的坐標是（，）或（7，）或（1，）．
故答案為：（1）；（2）（，）或（7，）或（1，）．
分析：（1）把點E的坐標代入直線解析式，計算即可求出k值；
（2）設(shè)點P的橫坐標為x，根據(jù)直線解析式表示出點P，根據(jù)拋物線解析式表示出點B，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BDP=∠POC，然后根據(jù)∠BDP的正切值求出BP與BD的比值，根據(jù)點B的坐標求出∠BOC的正切值，再分①當∠BDP=∠BOC時，兩三角形相似，②∠BDP與∠BOC互余時，∠BDP=∠OBC，兩三角形相似，兩三角形相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形對應(yīng)邊成比例，（2）要注意分情況討論求解．