Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且.直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)直線上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）連接，直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

（3）連接，當(dāng)為何值時(shí)？

（4）在直線上是否存在一點(diǎn)，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）線段與線段平行且相等（3）或1（4）存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（，2）

【解析】

（1）直線y=x+1與拋物線交于A點(diǎn)，可得點(diǎn)A和點(diǎn)E坐標(biāo)，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（0，3），即可求解；

（2）CQ==AE，直線AQ和AE的傾斜角均為45°，即可求解；

（3）根據(jù)題意將△APD的面積和△DAB的面積表示出來，令其相等，即可解出m的值；

（4）分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三種情況，分別求解即可．

解：（1）直線與拋物線交于點(diǎn)，則點(diǎn)、點(diǎn).

∵，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故拋物線的表達(dá)式為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，

故拋物線的表達(dá)式為，

函數(shù)的對(duì)稱軸為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）CQ=AE，且CQ∥AE，

理由是：，

，

∴CQ=AE，

直線CQ表達(dá)式中的k==1，與直線AE表達(dá)式中k相等，故AE∥CQ，
故線段CQ與線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是平行且相等；

（3）聯(lián)立直線與拋物線的表達(dá)式，并解得或2.故點(diǎn).

如圖1，過點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn).

解得或1.

（4）存在，理由：

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，，而點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，如圖2，

過點(diǎn)作軸的平行線，分別交過點(diǎn)、點(diǎn)與軸的平行線于點(diǎn)、，

，，，

，，

在△PGQ和△HMP中，

，

，

，，

即：，，

解得m=2或n=3，

當(dāng)n=3時(shí)，

解得：或2（舍去），

故點(diǎn)P；

②當(dāng)時(shí)，如圖3，

，則點(diǎn)、關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即垂直于拋物線的對(duì)稱軸，

而對(duì)稱軸與軸垂直，故軸，則，

可得：△MQP和△NQH都是等腰直角三角形，

MQ=MP，

∵MQ=1-m，MP=4-n，

∴n=3+m，代入，

解得：或1（舍去），

故點(diǎn)P；

③當(dāng)時(shí)，

如圖4所示，點(diǎn)在下方，與題意不符，故舍去．

如圖5，P在y軸右側(cè)，同理可得△PHK≌△HQJ，

可得QJ= HK，

∵QJ=t-1，HK=t+1-n，

∴t-1=t+1-n，

∴n=2，

∴，

解得：m=（舍去）或，

∴點(diǎn)P（，2）

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或（，2）