Question

【題目】已知二次函數y＝﹣x2+（m﹣3）x+m．

（1）證明：不論m取何值，該函數圖象與x軸總有兩個公共點；

（2）若該函數的圖象與y軸交于點（0，5），求出頂點坐標，并畫出該函數圖象．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)頂點坐標：（1，6）；函數圖像見解析.

【解析】

（1）證明對應的一元二次方程-x2+（m-3）x+m=0的根的判別式大于0，即可作出判斷；
（2）把x=0，y=5代入拋物線的解析式，即可得到一個關于m的方程，從而求得m的值，得到函數的解析式，然后把解析式化成頂點式的形式，即可求解．

證明：（1）令y＝0，﹣x2+（m﹣3）x+m＝0

a＝﹣1，b＝m﹣3，c＝m

b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4×（﹣1）m＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8

∵（m﹣1）2≥0

∴（m﹣1）2+8＞0

∴b2﹣4ac＞0

∴不論m取何值，該函數圖象與x軸總有兩個公共點．

（2）把x＝0，y＝5代入

∴m＝5，

∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6

頂點坐標：（1，6）．