Question

如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在邊AD上 不與A、D重合．MN為折痕，折疊后B′C′與DN交于P．
Ⅰ連接B B′，那么B B′與MN的長度相等嗎？為什么？
Ⅱ設(shè)BM=y，AB′=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
Ⅲ猜想當B點落在什么位置上時，折疊起來的梯形MN C′B′面積最��？并驗證你的猜想．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：Ⅰ、根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠A=∠MRN=90°，又∵∠ABB′=∠RNM，RN=AB=1，可知△ABB′≌△RNM，繼而可知BB′=MN；
Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
Ⅲ、由Ⅱ可得到MB′和CN的表達式，繼而根據(jù)梯形的面積公式求出S的表達式，利用二次函數(shù)求出S的最小值．

解答：解：Ⅰ、過點N作NR⊥AB，垂足為R，連接BB′交MN于點Q．
則由折疊知，△MBQ與△MB′Q關(guān)于直線MN對稱，
∴MQ⊥BB′．（4分）
在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，（5分）
∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°
∴∠ABB′=∠RNM，（6分）
又∵RN=AB=1，（7分）
∴△RNM≌△ABB′，
∴BB′=MN．（8分）

Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB，
∵

AB′

MQ

=

AB

BQ

=

BB′

MB

，（9分）
∵AB′=x，
則BB′=

1+x2

，BQ=

1

2

1+x2

，代入上式得：
BM=

1

2

（x²+1）．（10分）

Ⅲ、由Ⅱ得：BM=

1

2

（x²+1），
CN=BR=BM-MR=

1

2

（x²+1）-x=

1

2

（x-1）²，（11分）
∵MB′∥NC′，
∴四邊形MNC′B′是梯形，
∴S=

1

2

[

1

2

（x-1）²+

1

2

（x²+1）]×1=

1

2

（x²-x+1），（12分）
由S=

1

2

（x²-x+1）=

1

2

（x-

1

2

）²+

3

8

，
故當x=

1

2

時，即B落在AD的中點處時，梯形面積最小，其最小值為

3

8

．

點評：此題考查了翻折變換，要注意翻折不變性和正方形的性質(zhì)等隱含條件．題目還涉及二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強．