【題目】閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個問題:如圖1,△ABC中,AB=AC,點D在BC邊上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足為E,求證:BC=2AE.
小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),過點A作AF⊥BC,垂足為F,得到∠AFB=∠BEA,從而可證△ABF≌△BAE(如圖2),使問題得到解決.
(1)根據(jù)閱讀材料回答:△ABF與△BAE全等的條件是 AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個)
參考小明思考問題的方法,解答下列問題:
(2)如圖3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC的中點,E為DC的中點,點F在AC的延長線上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的長;
(3)如圖4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點D、E分別在AB、AC邊上,且AD=kDB(其中0<k< ),∠AED=∠BCD,求 的值(用含k的式子表示).
【答案】
(1)
:如圖2,
作AF⊥BC,
∵BE⊥AD,∴∠AFB=∠BEA,
在△ABF和△BAE中,
,
∴△ABF≌△BAE(AAS),
∴BF=AE
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF= BC,
∴BC=2AE,
故答案為AAS
(2)
解:如圖3,
連接AD,作CG⊥AF,
在Rt△ABC中,AB=AC,點D是BC中點,
∴AD=CD,
∵點E是DC中點,
∴DE= CD= AD,
∴tan∠DAE= = ,
∵AB=AC,∠BAC=90°,點D為BC中點,
∴∠ADC=90°,∠ACB=∠DAC=45°,
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°,
∵∠CDF=∠EAC,
∴∠F+∠EAC=45°,
∵∠DAE+∠EAC=45°,
∴∠F=∠DAE,
∴tan∠F=tan∠DAE= ,
∴ ,
∴CG= ×2=1,
∵∠ACG=90°,∠ACB=45°,
∴∠DCG=45°,
∵∠CDF=∠EAC,
∴△DCG∽△ACE,
∴ ,
∵CD= AC,CE= CD= AC,
∴ ,
∴AC=4;
∴AB=4;
(3)
解:如圖4,
過點D作DG⊥BC,設DG=a,
在Rt△BGD中,∠B=30°,
∴BD=2a,BG= a,
∵AD=kDB,
∴AD=2ka,AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1),
過點A作AH⊥BC,
在Rt△ABH中,∠B=30°.
∴BH= a(k+1),
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BC=2BH=2 a(k+1),
∴CG=BC﹣BG= a(2k+1),
過D作DN⊥AC交CA延長線與N,
∵∠BAC=120°,
∴∠DAN=60°,
∴∠ADN=30°,
∴AN=ka,DN= ka,
∵∠DGC=∠AND=90°,∠AED=∠BCD,
∴△NDE∽△GDC.
∴ ,
∴ ,
∴NE=3ak(2k+1),
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a(k+1)﹣2ak(3k+1)=2a(1﹣3k2),
∴ .
【解析】(1)作AF⊥BC,判斷出△ABF≌△BAE(AAS),得出BF=AE,即可;(2)先求出tan∠DAE= ,再由tan∠F=tan∠DAE,求出CG,最后用△DCG∽△ACE求出AC;(3)構造含30°角的直角三角形,設出DG,在Rt△ABH,Rt△ADN,Rt△ABH中分別用a,k表示出AB=2a(k+1),BH= a(k+1),BC=2BH=2 a(k+1),CG= a(2k+1),DN= ka,最后用△NDE∽△GDC,求出AE,EC即可.此題是相似形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),中點的定義,解本題的關鍵是作出輔助線,也是本題的難點.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】初二(1)班有48位學生,春游前,班長把全班學生對春游地點的意向繪制成了扇形統(tǒng)計圖,其中“想去蘇州樂園的學生數(shù)”的扇形圓心角600,則下列說法正確的是
A. 想去蘇州樂園的學生占全班學生的60%
B. 想去蘇州樂園的學生有12人
C. 想去蘇州樂園的學生肯定最多
D. 想去蘇州樂園的學生占全班學生的1/6
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】鐘樓是云南大學的標志性建筑之一,某校教學興趣小組要測量鐘樓的高度,如圖,他們在點A處測得鐘樓最高點C的仰角為45°,再往鐘樓方向前進至點B處測得最高點C的仰角為54°,AB=7m,根據(jù)這個興趣小組測得的數(shù)據(jù),計算鐘樓的高度CD.(tan36°≈0.73,結果保留整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本題滿分10分)如圖,已知AD是△ABC的角平分線,⊙O經(jīng)過A、B、D三點,過點B作BE∥AD,交⊙O于點E,連接ED.
(1)求證:ED∥AC;
(2)若BD=2CD,設△EBD的面積為,△ADC的面積為,且,求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校要從八年級甲、乙兩個班中各選取10名女同學組成禮儀隊,選取的兩個班女生的身高如下(單位:cm): 甲班:168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
乙班:165 167 169 170 165 168 170 171 168 167
(1)補充完成下面的統(tǒng)計分析表:
班級 | 平均數(shù) | 方差 | 中位數(shù) |
甲班 | 168 | 168 | |
乙班 | 168 | 3.8 |
(2)根據(jù)如表,請選擇一個合適的統(tǒng)計量作為選擇標準,說明哪一個班能被選。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某小區(qū)A自來水供水路線為AB,現(xiàn)進行改造,沿路線AO鋪設管道,并與主管道BO連接(AO⊥BO),這樣路線AO最短,工程造價最低,根據(jù)是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一個樣本中共5個數(shù)據(jù),其中前四個數(shù)據(jù)的權數(shù)分別為0.2,0.3,0.2,0.1,則余下的一個數(shù)據(jù)對應的權數(shù)為________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,一張三角形ABC紙片,點D、E分別是△ABC邊上兩點. 研究(1):如果沿直線DE折疊,使A點落在CE上,則∠BDA′與∠A的數(shù)量關系是
研究(2):如果折成圖2的形狀,猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數(shù)量關系是
研究(3):如果折成圖3的形狀,猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數(shù)量關系是 .
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