Question

如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點，=，連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過圓心O，延長AB到E，使BE=AB，連接EC，F(xiàn)是EC的中點，連接BF．

（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB=120°，求劣弧的長；

（2）求證：BF=BD；

（3）設G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG=PF？并說明PB與AE的位置關系．

 

Answer 1

（1）2π；（2）詳見解析；（3）存在，PG=PF時，BP⊥AE

【解析】

試題分析：（1）【解析】
連接OB，OD，

∵∠DAB=120°，∴所對圓心角的度數(shù)為240°，∴∠BOD=120°，

∵⊙O的半徑為3，∴劣弧的長為：×π×3=2π；

（2）證明：連接AC，

∵AB=BE，∴點B為AE的中點，

∵F是EC的中點，∴BF為△EAC的中位線，∴BF=AC，

∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；

（3）【解析】
過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，

∵BF為△EAC的中位線，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，

∵=，∴∠CAB=∠DBA，

∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，

∵G為BD的中點，∴BG=BD，∴BG=BF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．

 

考點：圓的綜合運用