Question

【題目】（2017四川省眉山市）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)頂點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交BC于G．

（1）求證：BG=DE；

（2）若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，從而可知∠CBG=∠CDE，根據(jù)全等三角形的判定即可證明△BCG≌△DCE，從而可知BG=DE；

（2）設(shè)CG=1，從而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易證△ABH∽△CGH，所以=2，從而可求出HG的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出的值．

試題解析：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG與△DCE中，∵∠CBG=∠CDE，BC=CD，∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE；

（2）設(shè)CG=1，∵G為CD的中點(diǎn)，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE=，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴，∴BH=，GH=，∴ =．