【題目】如圖,拋物線yx2+x4x軸交于ABAB的左側(cè)),與y軸交于點C,拋物線上的點E的橫坐標為3,過點E作直線l1x軸.

1)點P為拋物線上的動點,且在直線AC的下方,點MN分別為x軸,直線l1上的動點,且MNx軸,當△APC面積最大時,求PM+MN+EN的最小值;

2)過(1)中的點PPDAC,垂足為F,且直線PDy軸交于點D,把△DFC繞頂點F旋轉(zhuǎn)45°,得到△D'FC',再把△D'FC'沿直線PD平移至△DFC″,在平面上是否存在點K,使得以OC″,D″,K為頂點的四邊形為菱形?若存在直接寫出點K的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】1;(2)存在,點K的坐標為(,﹣)或(2+,﹣2).

【解析】

1)過點PPGx軸于點G,交AC于點H,在PG上截取PP'MN,連接P'N,以NE為斜邊在直線NE上方作等腰RtNEQ,過點P'P'REQ于點R,先利用二次函數(shù)的解析式求出A,B,C,E的坐標,然后用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,利用E點坐標得出PP'MN,然后設(shè)出點Pt,t2+t4Ht,﹣t4),用含t的代數(shù)式表示出△APC的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△APC的面積最大時對應(yīng)的點P,的坐標,然后利用平行四邊形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出PM+MN+ENPP'+P'N+ NQ+P'N+NQ,所以當點P'、NQ在同一直線上時,P'N+NQP'R最小,即PM+MN+ EN+P'R,分別用待定系數(shù)法求出直線 的表達式,聯(lián)立求出點R的坐標,最后利用勾股定理求出的長度,則答案可求;

(2)先求出D,F點的坐標,得出△CDF是等腰直角三角形,然后分兩種情況討論:把△DFC繞頂點F逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到,經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)以O,,K為頂點的四邊形為菱形, 不可能為邊,只能以為鄰邊構(gòu)成菱形,然后利用菱形的性質(zhì)即可求解;把△DFC繞頂點F順時針旋轉(zhuǎn)45°,得到△D'FC',以O,K為頂點的四邊形為菱形,只能為對角線,從而求出K的坐標即可.

1)如圖1,過點PPGx軸于點G,交AC于點H,在PG上截取PP'MN,連接P'N,

NE為斜邊在直線NE上方作等腰RtNEQ,過點P'P'REQ于點R

x0時,yx2+x4=﹣4

C0,﹣4

y0時,x2+x40

解得:x1=﹣4,x22

A(﹣4,0),B2,0

設(shè)直線AC的解析式為

代入解析式中得

解得

∴直線AC解析式為

∵拋物線上的點E的橫坐標為3

yE×32+34

E3),直線l1y

∵點Mx軸上,點N在直線l1上,MNx

PP'MN

設(shè)拋物線上的點Ptt2+t4)(﹣4t0

Ht,﹣t4

PH=﹣t4﹣(t2+t4)=﹣t22t

SAPCSAPH+SCPHPHAG+PHOGPHOA2PH=﹣t24t

∴當t=﹣=﹣2時,SAPC最大

yPt2+t4224=﹣4,yP'yP+

P(﹣2,﹣4),P'(﹣2,

PP'MN,PP'MN

∴四邊形PMNP'是平行四邊形

PMP'N

∵等腰RtNEQ中,NE為斜邊

∴∠NEQ=∠ENQ45°,NQEQ

NQEN

PM+MN+ENPP'+P'N+ NQ+P'N+NQ

∵當點P'、NQ在同一直線上時,P'N+NQP'R最小

PM+MN+EN+P'R

設(shè)直線EQ解析式為y=﹣x+a

E3

∴﹣3+a

解得:a

∴直線EQy=﹣x+

設(shè)直線P'R解析式為yx+b

P'(﹣2,

∴﹣2+b=﹣

解得:b

∴直線P'Ryx+

解得:

R,4

P'R

PM+MN+EN最小值為

2)∵PDAC,P(﹣2,﹣4),

∴直線PD解析式為:yx2

D0,﹣2),F(﹣1,﹣3),

CD2DFCF,△CDF是等腰直角三角形,

如圖2,把△DFC繞頂點F逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到,

,﹣3),(﹣1,3

沿直線PD平移至,連接

設(shè)直線 的解析式為

代入解析式中得

解得

∴直線 解析式為yx2 ,

同理:直線解析式為yx+2,

顯然OC″≥+12CD

∴以O,,K為頂點的四邊形為菱形, 不可能為邊,只能以為鄰邊構(gòu)成菱形

,

OK ,PD,

OKPD

K1,﹣),

如圖3,把△DFC繞頂點F順時針旋轉(zhuǎn)45°,得到△D'FC',

(﹣1,﹣3), 1,﹣3

沿直線PD平移至,連接 ,,

顯然,PD, +1 +1 ,

∴以O,K為頂點的四邊形為菱形,只能為對角線,

K22+,﹣2).

綜上所述,點K的坐標為:K1,﹣),K22+,﹣2).

練習冊系列答案
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摸棋的次數(shù)n

100

200

300

500

800

1000

摸到黑棋的次數(shù)m

24

51

76

124

201

250

摸到黑棋的頻率(精確到0.001)

0.240

0.255

0.253

0.248

0.251

0.250

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是   ;(精確到0.01)

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