【題目】(2016湖南省岳陽市第24題)如圖,直線y=x+4交于x軸于點A,交y軸于點C,過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B(1,0).

(1)求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)若點M是拋物線F1位于第二象限圖象上的一點,設(shè)四邊形MAOC和BOC的面積分別為S四邊形MAOC和SBOC,記S=S四邊形MAOCSBOC,求S最大時點M的坐標(biāo)及S的最大值;

(3)如圖,將拋物線F1沿y軸翻折并復(fù)制得到拋物線F2,點A、B與(2)中所求的點M的對應(yīng)點分別為A、B、M,過點M作MEx軸于點E,交直線AC于點D,在x軸上是否存在點P,使得以A、D、P為頂點的三角形與ABC相似?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)、y=x2x+4;(2)、最大值為;M(,5);(3)、(2,0)或(,0)

【解析】

試題分析:(1)、利用一次函數(shù)的解析式求出點A、C的坐標(biāo),然后再利用B點坐標(biāo)即可求出二次函數(shù)的解析式;(2)、由于M在拋物線F1上,所以可設(shè)M(a,a2a+4),然后分別計算S四邊形MAOC和SBOC,過點M作MDx軸于點D,則S四邊形MAOC的值等于ADM的面積與梯形DOCM的面積之和;(3)、由于沒有說明點P的具體位置,所以需要將點P的位置進(jìn)行分類討論,當(dāng)點P在A的右邊時,此情況是不存在;當(dāng)點P在A的左邊時,此時DAP=CAB,若以A、D、P為頂點的三角形與ABC相似,則分為以下兩種情況進(jìn)行討論:=;=

試題解析:(1)、令y=0代入y=x+4, x=3, A(3,0),

令x=0,代入y=x+4, y=4, C(0,4),

設(shè)拋物線F1的解析式為:y=a(x+3)(x1),

把C(0,4)代入上式得,a=, y=x2x+4,

(2)、如圖,設(shè)點M(a,a2a+4) 其中3<a<0 B(1,0),C(0,4), OB=1,OC=4

SBOC=OBOC=2, 過點M作MDx軸于點D, MD=a2a+4,AD=a+3,OD=a,

S四邊形MAOC=ADMD+(MD+OC)OD=ADMD+ODMD+ODOC=+=+

=×3(a2a+4)+×4×a)=2a26a+6

S=S四邊形MAOCSBOC=(2a26a+6)2=2a26a+4=2(a+2+

當(dāng)a=時, S有最大值,最大值為 此時,M(,5);

(3)、如圖,由題意知:M),B1,0),A(3,0) AB=2

設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b, 把A(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,得:,

y=x+4, 令x=代入y=x+4, y=2

由勾股定理分別可求得:AC=5,DA= 設(shè)P(m,0)

當(dāng)m<3時, 此時點P在A的左邊, ∴∠DAP=CAB 當(dāng)=時,DAP∽△CAB,

此時, =(3m), 解得:m=2, P(2,0)

當(dāng)=時,DAP∽△BAC, 此時, =(3m) m= P(,0)

當(dāng)m>3時, 此時,點P在A右邊, 由于CBO≠∠DAE, ∴∠ABC≠∠DAP

此情況,DAP與BAC不能相似,

綜上所述,當(dāng)以A、D、P為頂點的三角形與ABC相似時,點P的坐標(biāo)為(2,0)或(,0).

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7,3.5,3.1415π,0, ,0.03, ,10, ,

自然數(shù)集合{ …};

整數(shù)集合{ …};

正分?jǐn)?shù)集合{ …}

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有理數(shù)集合{ …}

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所以AB∥CD__________

所以∠BGF+∠3=180°__________

因為∠2+∠EFD=180°(鄰補(bǔ)角的性質(zhì)).

所以∠EFD=________.(等式性質(zhì)).

因為FG平分∠EFD(已知).

所以∠3=________∠EFD(角平分線的性質(zhì)).

所以∠3=________.(等式性質(zhì)).

所以∠BGF=________.(等式性質(zhì)).

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