Question

如圖，已知拋物線y=

5

8

x²+bx+c經(jīng)過直線y=-

1

2

+1與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為拋物線上的一點(diǎn)，且∠ABC=90°．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）直線y=-

1

2

x+1上是否存在點(diǎn)P，使得△BCP與△OAB相似？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線的解析式求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）作CD⊥x軸于D，根據(jù)題意求得∠OAB=∠CBD，然后求得△AOB∽△BDC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得CD=2BD，從而設(shè)BD=m，則C（2+m，2m），代入拋物線的解析式即可求得；
（3）分兩種情況分別討論即可求得．

解答：解：（1）把x=0代入y=-

1

2

x+1得，y=1，
∴A（0，1），
把y=0代入y=-

1

2

x+1得，x=2，
∴B（2，0），
把A（0，1），B（2，0）代入y=

5

8

x²+bx+c得，

1=c 0= 5 2 +2b+c

，解得

b=- 7 4 c=1

，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=

5

8

x²-

7

4

x+1，
（2）如圖，作CD⊥x軸于D，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
∵∠AOB=∠BDC，
∴△AOB∽△BDC，
∴

CD

BD

=

OB

OA

=2，
∴CD=2BD，
設(shè)BD=m，
∴C（2+m，2m），
代入y=

5

8

x²-

7

4

x+1得，2m=

5

8

（m+2）²-

7

4

（m+2）+1，解得，m=2或m=0（舍去），
∴C（4，4）；
（3）∵OA=1，OB=2，
∴AB=

5

，
∵B（2，0），C（4，4），
∴BC=2

5

，
①當(dāng)△AOB∽△PBC時(shí)，則

PB

OA

=

BC

OB

∴

PB

1

=

2 5

2

，解得，PB=

5

，
作PE⊥x軸于E，則△AOB∽△PEB，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，即

PE

1

=

5

5

，
∴PE=1，
∴P的縱坐標(biāo)為±1，代入y=-

1

2

x+1得，x=0或x=4，
∴P（0，1）或（4，-1）；
②當(dāng)△AOB∽△CBP時(shí)，則

PB

OB

=

BC

OA

，
即

PB

2

=

2 5

1

，解得，PB=4

5

，
作PE⊥x軸于E，則△AOB∽△PEB，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，即

PE

1

=

4 5

5

，
∴PE=4，
∴P的縱坐標(biāo)為±4，代入y=-

1

2

x+1得，x=-6或x=10，
∴P（-6，4）或（10，-4）；
綜上，P的坐標(biāo)為（0，1）或（4，-1）或（-6，4）或（10，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法、三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．