Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C₁：y=ax²+4x+4a （0＜a＜2），
（1）當(dāng)C₁與x軸有唯一交點(diǎn)時(shí)，求C₁的解析式．
（2）若a=1，將拋物線C₁先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得拋物線C₂，拋物線C₂與x軸相交于M、N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)的左邊），直線y=kx（k＞0）與拋物線C₂相交于P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面積是△MOP的面積的4倍．求k的值．
（3）若A（1，y_A），B（0，y_B），C（-1，y_c）三點(diǎn)均在C₁上，連BC，作AE∥BC交拋物線C₁于E，求證：當(dāng)a值變化時(shí)，E點(diǎn)在一條直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用根的判別式列方程求出a，然后寫出即可；
（2）先求出平移后的拋物線的解析式，再設(shè)點(diǎn)P（x，y），Q（x_Q，y_Q），根據(jù)三角形的面積求出y_Q=4y，從而得到x_Q=-4x，然后根據(jù)點(diǎn)P、Q是拋物線與直線的交點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)，再求出k值即可；
（3）作CD⊥y軸于D，作AQ⊥x軸于Q，作EG⊥AQ于G，求出△AEG與△BCD相似，設(shè)E（x，y），然后表示出AG、EG、BD、CD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解得到x=-2．

解答： 解：（1）∵C₁與x軸有唯一交點(diǎn)，
∴△=4²-4•a•a=0，
解得a=±1，
∵0＜a＜2，
∴a=1，
∴C₁的解析式為y=x²+4x+4；

（2）y=x²+4x+4=（x+2）²，
∵拋物線C₁先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得拋物線C₂，
∴拋物線C₂為y=x²-1，
∴MO=NO，
設(shè)P（x，y），Q（x_Q，y_Q），
∵△NOQ的面積是△MOP的面積的4倍，
∴y_Q=-4y，
∴x_Q=-4x，
∵x、x_Q為方程x²-1=kx的兩根，
∴x•x_Q=-1，
∴x=-

1

2

，x_Q=2，
∴k=（-

1

2

+2）=

3

2

；

（3）作CD⊥y軸于D，作AQ⊥x軸于Q，作EG⊥AQ于G，
則△AEG∽△BCD，
∴

AG

BD

=

EG

CD

，
設(shè)E（x，y），
∴y_A=a+4+4a=5a+4，y_B=4a，y_C=a-4+4a=5a-4，y_E=ax²+4x+4a，
∴AG=（5a+4）-（ax²+4x+4a）=a（1-x²）+4（1-x），
EG=1-x，
BD=4a-（5a-4）=4-a，
CD=1，
所以，

a(1-x2)+4(1-x)

4-a

=

1-x

1

，
∵x≠1，
∴a（1+x）+4=4-a，
解得x=-2，
即：E點(diǎn)在直線x=-2上．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根的判別式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，三角形的面積，相似三角形的面積，難點(diǎn)在于（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形．