Question

【題目】若直線l : y kx b k 0 與曲線有 n 個交點，則稱直線l 為曲線的“ n 階共生直線”，交點稱為它們的“共生點”.

（1）若直線 y kx b k 0與某曲線的一個“共生點”為 P m, 2m 1，試判斷此“共生點”不可能位于第幾象限，請說明理由.

（2）若直線 l : y kx 2k k 0 與 x 、 y 軸分別交于 A 、 B 兩點，且直線 l 為反比例函數y=的“ 2階共生直線”，且“共生點”為C、D，求k的取值范圍，試證明此時不論 k 取何值，總有 AC BD 成立.

（3）若直線l : y kx 2k k 0 與 x 軸交于點 A ，且直線l 為拋物線 y x2 2x 1的“2 階共生直線”，且“共生點”為 P 、Q xP xQ ，若 AQ 3AP ，求 k 的值.

Answer 1

【答案】（1）不經過第四象限，（2），證明見解析；（3）

【解析】

（1）直線y=2x+1不經過第四象限，故得答案；

（2）過點C作CE⊥ OA ,過點D作DF⊥OA,DH⊥OB，列方程組整理得一個一元二次方程，由交點數可知方程有兩個不相等的實數根，故△= 可求得K的取值范圍，然后求得A(2,0)，設，解得，故AE=OF=DH，證得△ACE≌△DHB，得出AC=BD，所以此時不論 k 取何值，總有 AC BD 成立；

（3）作出圖形，則有，列出方程解得，又因為，所以，求解可得k值.

解：（1）∵P（m,2m+1）在直線y=2x+1上，它不經過第四象限，

∴P不可能位于第四象限.

（2）如圖，過點C作CE⊥ OA ,過點D作DF⊥OA,DH⊥OB，

由題意列方程組，整理得，

因為有2個交點，故方程有兩個不相等的實數根，

∴△=

解得

令y=0,得x=2,所以A(2,0)

設

∴

∴

∴AE=OF=DH

又∵AC,BD在同一直線上，易得△ACE≌△DHB

∴AC=BD

∴此時不論 k 取何值，總有 AC BD 成立.

（3）如圖

又

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴（負值舍去）

得