Question

【題目】如圖（1）將長(zhǎng)方形紙片ABCD的一邊CD沿著CQ向下折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上的點(diǎn)P處．

（1）試判斷線段CQ與PD的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖（2），若AB=CD=5，AD=BC=3．求AQ的長(zhǎng)；

（3）如圖（2），BC=3，取CQ的中點(diǎn)M，連接MD，PM，若MD⊥PM，求AQ（AB+BC）的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2） （3）9

【解析】

（1）由折疊知CD=CP，∠DCQ=∠PCQ．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)AQ=x，則DQ=QP=3-x．在Rt△PBC中，由勾股定理可得PB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AP的長(zhǎng)．在Rt△APQ中，由勾股定理列方程，求解即可得出結(jié)論．

（3）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到DM=QM=MC=PM，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠MDQ=∠MQD，∠MQP=∠MPQ．再由四邊形內(nèi)角和為360°得到∠DQP=135°，從而得到∠AQP=45°，得到△APQ為等腰直角三角形，從而求出AQ的長(zhǎng)．在Rt△PBC中，由勾股定理得到（AB－AQ）2+32=AB2，變形即可得到結(jié)論．

（1）CQ垂直平分DP．理由如下：

由折疊的性質(zhì)可知：CD=CP，∠DCQ=∠PCQ，∴CQ垂直平分DP．

（2）設(shè)AQ=x，則DQ=QP=3-x．

∵PC=DC=5，BC=3，∴PB==4．

∵AB=5，∴AP=5-4=1．在Rt△APQ中，∵，∴，解得：x=，∴AQ=．

（3）如圖，∵∠QDC=∠QPC=90°，M為斜邊QC的中點(diǎn)，∴DM=QM=MC=PM，∴∠MDQ=∠MQD，∠MQP=∠MPQ．

∵MD⊥PM，∴∠DMP=90°，∴∠DQP=∠DQM+∠PQM=（360°-90°）÷2=135°，∴∠AQP=180°－135°=45°．

∵∠A=90°，∴∠APQ=∠AQP=45°，∴△APQ時(shí)等腰直角三角形，∴AP=AQ，DQ=PQ=AQ．

∵AQ+QD=AD=BC=3，∴（+1）AQ=3，解得：AQ=3（－1）=．在Rt△PBC中，∵PB2+BC2=PC2，∴（AB－AQ）2+32=AB2，∴ABAQ=(AQ2+9)，∴AQ（AB+BC）= AQAB+ AQ BC=(AQ2+9)+3AQ=（AQ+3）2= =9．