Question

【題目】如圖，直線AD對應的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x﹣1，與拋物線交于點A（在x軸上）、點D，拋物線與x軸另一交點為B（3，0），拋物線與y軸交點C（0，﹣3），

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；

（3）若點F是拋物線的頂點，點G是直線AD與拋物線對稱軸的交點，在線段AD上是否存在一點P，使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）點H拋物線上的動點，在x軸上是否存在點Q，使A、D、H、Q這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）當x=時，PE有最大值，最大值為；

（3）存在點P（0，﹣1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）存在點Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)直線解析式求出點A的坐標，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式計算即可得解；

（2）根據(jù)直線解析式表示出點P的坐標，利用拋物線解析式表示出點E的坐標，再用點P的縱坐標減去點E的縱坐標，整理即可得到PE的表達式，再聯(lián)立直線解析式與拋物線解析式求出點D的坐標，得到點P的橫坐標的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

（3）把拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，然后求出點F的坐標，并利用對稱軸根據(jù)點P在直線上求出點G的坐標，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等列式解方程即可判斷并求出點P的坐標；

（4）①當點H在x軸下方時，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，可得點H的縱坐標與點D的縱坐標相等，然后代入拋物線解析式求出點H的橫坐標，再求出HD的長度，然后分點Q在點A的左邊與右邊兩種情況求出點Q的坐標；

②當點H在x軸上方時，AQ只能是平行四邊形的對角線，根據(jù)點D的坐標得到點H的縱坐標，然后代入拋物線解析式求出點H的橫坐標，然后根據(jù)點H的橫坐標表示的點到點Q的距離等于點D的橫坐標表示的點到點A的距離相等求解即可．

試題解析：（1）令y=0，則﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，所以，點A的坐標為（﹣1，0），

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在拋物線上，∴，解得，所以，拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，

∴設(shè)點P（x，﹣x﹣1），則點E的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），

PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3），

=﹣x﹣1﹣x2+2x+3，

=﹣x2+x+2，

=﹣（x﹣）2+，聯(lián)立，解得，，

所以，點D的坐標為（2，﹣3），

∵P是線段AD上的一個動點，

∴﹣1＜x＜2，

∴當x=時，PE有最大值，最大值為；

（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴點F的坐標為（1，﹣4），點G的橫坐標為1，

y=﹣1﹣1=﹣2，

∴點G的坐標為（﹣1，﹣2），

∴GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，

∵四邊形GFEP為平行四邊形，

∴PE=GF，

∴﹣x2+x+2=2，

解得x1=0，x2=1（舍去），

此時，y=﹣1，

∴點P的坐標為（0，﹣1），

故，存在點P（0，﹣1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）存在．理由如下：

①當點H在x軸下方時，∵點Q在x軸上，

∴HD∥AQ，

∴點H的縱坐標與點D相同，是﹣3，

此時，x2﹣2x﹣3=﹣3，

整理得，x2﹣2x=0，

解得x1=0，x2=2（舍去），

∴HD=2﹣0=2，

∵點A的坐標為（﹣1，0），

﹣1﹣2=﹣3，﹣1+2=1，

∴點Q的坐標為（﹣3，0）或（1，0）；

②當點H在x軸上方時，根據(jù)平行四邊形的對稱性，點H到AQ的距離等于點D到AQ的距離，

∵點D的縱坐標為﹣3，∴點H的縱坐標為3，∴x2﹣2x﹣3=3，

整理得，x2﹣2x﹣6=0，

解得x1=1﹣，x2=1+，

∵點A的橫坐標為﹣1，點D的橫坐標為2，

2﹣（﹣1）=2+1=3，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，1﹣+3=4﹣，1++3=4+，

∴點Q的坐標為（4﹣，0）或（4+，0），

綜上所述，存在點Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．