Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于C點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A（-2，0），B（6，0），P是該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，連接PC，AC．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求線段PQ的最大值；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ的最大值為；（3）或

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法，列出二元一次方程組求解即可得出結(jié)論；
(2)先確定出直線BC解析式，進(jìn)而得出PM，再判斷出△OAC∽△OCB，求出AC，進(jìn)而得出∠MPQ的余弦值，即可得出結(jié)論；
(3)分兩種情況，Ⅰ、當(dāng)△QPC∽△OAC時(shí)，利用拋物線的對(duì)稱性即可得出結(jié)論，Ⅱ、先確定出直線CD的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可得出結(jié)論．

解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式中得，

，

∴解：，

∴拋物線解析式為；

（2）設(shè)，

令x=0，則，

∴，

∵B（6，0），

∴直線BC的解析式為，

如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，交BC于M，

∴點(diǎn)，

∴

，

∵∠AOC=∠COB=∠CQP=∠POM=∠MDB=90°，

∵，

∴△OAC∽△OCB，

∴∠ACO=∠CBO=∠MPQ，

∴△OAC∽△OCB∽△NMB∽△QMP，

∵，

∴，

∵，

∴

∴t=3時(shí)，PQ的最大值為；

（3）、①當(dāng)△QPC∽△OAC時(shí)，

∴∠ACO=∠CBA=∠PCQ，

∴PC∥x軸，

由拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴；

②、當(dāng)△QCP∽△OAC時(shí)，

∴∠CAO=∠PCQ，

∴tan∠CAO=tan∠PCQ，

如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC交CP的延長(zhǎng)線于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，

∴△OBC∽△EDB，

∴，

∴，

∴OE=OB+BE=12，，

∴，

∵，

∴直線CD的解析式為①

∵②，

聯(lián)立①②解得，

（舍）或，

∴．