Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，將四邊形OABC繞點O逆時針方向旋轉α度得到四邊形OA′B′C′，此時點A′落在線段BC上，且A′B：A′C=2：8．

（1）求AB：OA的值；
（2）如果B′點的縱坐標為27，請你求出A′的坐標；
（3）如圖2，在第（2）問的前提下，繼續(xù)逆時針旋轉四邊形OA′B′C，使其頂點B′落在BC的延長線上，OA′與直線BC交于點D，求△ODB′的面積．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）在RT△A′CO中，運用勾股定理求出AB：OA的值；
（2）作輔助線，設OA=a，運用三角函數求出B′N和NM關于a的式子，運用B′N+NM=27，求出a，再求出點A的坐標．
（3）由△B′A′D≌△OCD，得出A′D=DC，在RT△OCD中利用勾股定理求出DC，進而可得B′D的值，再運用三角形的面積公式求出△ODB′的面積．

解答：解：（1）設OA=a，AB=b，
∵A′B：A′C=2：8，
∴A′C=

8

10

BC=0.8BC，
∵四邊形OABC為矩形，
∴A′C=0.8OA=0.8a，OC=AB=b，
由旋轉可得OA′=OA=a，
在RT△A′CO中，OA′²=OC²+A′C²
∴a²=b²+（0.8a）²，化簡得0.36a²=b²
∴b：a=3：5
即AB：OA=3：5．
（2）如圖1，作B′M⊥OA交OA于點M，交OA′于點N，作A′G⊥OA交OA于點G，

設OA=a，由（1）可知，AB=A′G=0.6a，A′C=OG=0.8a，OA′=a，
∴sin∠NOM=

A′G

OA′

=

0.6a

a

=

3

5

，tan∠NOM=

A′G

OM

=

0.6a

0.8a

=

3

4

，
∵∠B′a′N=∠OMN=90°，
∴∠NB′A′=∠NOM，
∴

NA′

B′A′

=

NA′

0.6a

=

3

4

，
∴NA′=

9

20

a，
∴ON=a-

9

20

a=

11

20

a，
∵

NA′

B′N

=

3

5

，
∴B′N=NA′×

5

3

=

9

20

a×

5

3

=

3

4

a，
∵

NM

ON

=

3

5

，
∴NM=

3

5

ON=

3

5

×

11

20

a=

33

100

a，
∴

3

4

a+

33

100

a=27，
解得，a=25，
∴AB=25×0.6=15，A′C=25×0.8=20，
∴點A′的坐標是（20，15）．
（3）如圖2，

由（2）可知OA=25，AB=15，
由旋轉得，CO=B′A′，∠B′A′D=∠DCO=90°，∠A′DB′=∠CDO，
在△B′A′D和△OCD中，

∠A′DB′=∠CDO ∠B′A′D=∠DCO B′A′ =CO

∴△B′A′D≌△OCD（AAS）
∴A′D=DC，B′D=OD，
在RT△OCD中，OD²=OC²+DC²
∴（25-DC）²=DC²+15²
解得DC=8，
∵B′O是對角線，
∴B′C=25，
∴B′D=B′C-DC=25-8=17．
∴△ODB′的面積=

1

2

B′D•CO=

1

2

×17×15=127.5

點評：本題主要考查了幾何變換綜合題，解題的關鍵是利用三角函數列出關于矩形長的關系式，利用B′的縱坐標求出矩形的邊長．