Question

已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC。∴∠OAE=∠OCF。
在△AOE和△COF中，∵，
∴△AOE≌△COF（ASA）。
（2）∵∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°。
∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°。
∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°。
∵菱形的邊長為2，∠DAO=30°，∴OD=AD=×2=1。
∴。
∴。
∵菱形的邊長為2，∠BAD=60°，∴高。
在Rt△CEF中，。

試題分析：（1）根據菱形的對角線互相平分可得AO=CO，對邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內錯角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等。
（2）根據菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解。