Question

如下三圖中，已知A（0，10）、B（10，0），P是線段AB的中點．
（1）S_△AOB=

 

，P點的坐標是

 

；
（2）如圖2，C（-4，0），D為y軸上的一點，當△PDC是以P為頂點的等腰直角三角形時，求D點的坐標；
（3）如圖3，當?shù)妊�直角△PCD繞P點在線段AB左下方轉(zhuǎn)動時，記△PCD與△AOB重疊部分即圖中陰影四邊形PMON的面積為S，S的值是否為定值？如是定值，求其值；如是變化的，說明是怎樣變化．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)A、B坐標求出OA、OB，即可求出答案；
（2）作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，證三角形PCE和三角形PDF全等，即可求出答案；
（3）連接OP，證△PON≌△PBM，推出S_△PON=S_△PBM，即可求出陰影部分的面積等于三角形AOB面積的一半，求出即可．

解答：解：（1）∵A（0，10）、B（10，0），
∴OA=OB=10，
∴S_△AOB=

1

2

×OA×OB=

1

2

×10×10=50，
作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，如圖1，
∵P是線段AB的中點，
∴PE=PF=5，
P（5，5），
故答案為：50，（5，5）；
（2）如圖1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∵P是線段AB的中點，
∴PE=PF=5，CE=CO+OE=4+5=9，
∵△PCD是等腰直角三角形，
在△PCE和△PDF中，

PC=PD PE=PF

∴Rt△PCE≌Rt△PDF（HL），
∴CE=DF=9，
∴OF=5，
∴OD=OF+DF=5+9=14，
∴D（0，14）；
（3）S的值是定值，
如圖2，連接OP，

∵P是線段AB的中點，OA=OB
∴△POA與△POB均是等腰直角三形，
∴PO=PB，∠4=∠5=45°
∵∠1+∠3=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△PON和△PBM中，

∠4=∠5 PO=PB ∠1=∠2

，
∴△PON≌△PBM（ASA），
∴S_△PON=S_△PBM，
∴S_{四邊形PMON}=S_△PON+S_△POM=S△PBM+S△POM=S△POB=

1

2

S△AOB=25．

點評：本題考查了點的坐標與圖形面積，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較好，難度適中．