Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

(m≠0)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點，與x軸交于C點，點B坐標(biāo)為（6，n）．線段OA=5，E為x軸上一點，且sin∠AOE=

4

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOC的面積；
（3）直接寫出kx+b＞

m

x

時的x取值范圍．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：（1）作AD⊥x軸于D，在Rt△AOD中，利用正弦的定義可計算出AD=4，再利用勾股定理計算出OD=3，則A點坐標(biāo)為（-3，4），然后把A點坐標(biāo)代入y=

m

x

可計算出m-12，從而得到反比例函數(shù)解析式為y=-

12

x

；再利用反比例函數(shù)解析式確定B點坐標(biāo)為（6，-2），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）先確定C點坐標(biāo)為（3，0），然后根據(jù)三角形面積公式計算△AOC的面積；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜-3或0＜x＜6時，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方，即有kx+b＞

m

x

．

解答：解：（1）作AD⊥x軸于D，如圖，
在Rt△AOD中，OA=5，
∴sin∠AOD=

AD

OA

=

4

5

，
∴AD=4，
∴OD=

OA2-AD2

=3，
∴A點坐標(biāo)為（-3，4），
把A（-3，4）代入y=

m

x

得m=-3×4=-12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

12

x

；
把B（6，n）代入y=-

12

x

得6n=-12，解得n=-2，
∴B點坐標(biāo)為（6，-2），
把A（-3，4）、B（6，-2）代入y=kx+b得

-3k+b=4 6k+b=-2

，解得

k=- 2 3 b=2

，
∴一次函數(shù)解析式為y=-

2

3

x+2；
（2）把y=0代入y=-

2

3

x+2得-

2

3

x+2=0，解得x=3，
∴C點坐標(biāo)為（3，0），
∴△AOC的面積=

1

2

×3×4=6；
（3）當(dāng)x＜-3或0＜x＜6時，kx+b＞

m

x

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．