Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙P經(jīng)過x軸上一點C，與y軸分別相交于A、B兩點，連接AP并延長分別交⊙P、x軸于點D、點E，連接DC并延長交y軸于點F．若點F的坐標為（0，1），點D的坐標為（6，-1）．
（1）求證：DC=FC；
（2）判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）求直線AD的解析式．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）通過證△FOC≌△DHC（AAS）得到：DC=FC；
（2）如圖，連接PC．⊙P與x軸的位置關(guān)系是相切．欲證明⊙P與x軸相切．只需證得PC⊥x軸；
（3）設(shè)AD的長為x，則在等腰直角△ABD中，由勾股定理，得x²=6²+（x-2）²，通過解方程求得x=10．則點A的坐標為（0，-9）．依據(jù)點A、D的坐標來求直線AD的解析式．

解答：（1）證明：如圖，過點D作DH⊥x軸于點H，則∠CHD=∠COF=90°．
∵點F的坐標為（0，1），點D的坐標為（6，-1），
∴DH=OF，
∵在△FOC與△DHC中，

∠FCO=∠DCH ∠FOC=∠DHC=90° OF=HD

∴△FOC≌△DHC（AAS），
∴DC=FC；

（2）答：⊙P與x軸相切．理由如下：
如圖，連接CP．
∵AP=PD，DC=CF，
∴CP∥AF，
∴∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x軸．
又PC是半徑，
∴⊙P與x軸相切；

（3）解：由（2）可知，CP是△DFA的中位線，
∴AF=2CP．
∵AD=2CP，
∴AD=AF．
連接BD．
∵AD是⊙P的直徑，
∴∠ABD=90°，
∴BD=OH=6，OB=DH=FO=1．
設(shè)AD的長為x，則在直角△ABD中，由勾股定理，得
x²=6²+（x-2）²，
解得 x=10．
∴點A的坐標為（0，-9）．
設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b（k≠0）．則

b=-9 6k+b=-1

，
解得

k= 4 3 b=-9

，
∴直線AD的解析式為：y=

4

3

x-9．

點評：本題考查了圓的綜合題．此題難度不大，其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定與性質(zhì)．解題時，注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的應(yīng)用．