Question

如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，在拋物線y=x²（x＞0）上取一點(diǎn)P，在y軸上取一點(diǎn)Q，使得P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A有    個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：此題應(yīng)分四種情況考慮：
①∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點(diǎn)坐標(biāo)；
②∠POQ=∠AOH=30°，此時(shí)∠POH=60°，即直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出OQ、PQ的長(zhǎng)，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．
③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH；
④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)△OQP≌△AOH；
解答：解：①當(dāng)∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，設(shè)A坐標(biāo)為（a，b），
在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°==，
設(shè)直線OA的方程為y=kx，把A的坐標(biāo)代入得k==，
所以直線OA：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得 ，；
故A（，）；
②當(dāng)∠POQ=∠AOH=30°，此時(shí)△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得 ，；
故P（，3），那么A（3，）；
③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得 、，
故P（，3），
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
故A（2，2）；
④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)△OQP≌△AOH；
此時(shí)直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得 、，
∴P（，），
∴QP=，OP=，
∴OH=QPQP=，AH=OP=，
故A（，）．
綜上可知：符合條件的點(diǎn)A有四個(gè)，且坐標(biāo)為：（，）或（3，）或（2，2）或（，）．
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法；由于全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不明確，因此要注意分類討論思想的運(yùn)用．