Question

已知拋物線y=x²-px+

p

2

-

1

4

（1）若拋物線與y軸交點的坐標(biāo)為（0，1），求拋物線與x軸交點的坐標(biāo)；
（2）證明：無論p為何值，拋物線與x軸必有交點；
（3）若拋物線的頂點在x軸上，求出這時頂點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：（1）將拋物線與y軸的交點代入解析式求出p的值，即可求出拋物線與x軸的交點；
（2）找出a，b，c的值，表示出根的判別式，配方后利用完全平方式的性質(zhì)判斷得到根的判別式大于等于0，即可得證；
（3）表示出頂點坐標(biāo)，根據(jù)頂點在x軸上，得到縱坐標(biāo)為0，即可確定出p的值，進(jìn)而得出頂點坐標(biāo)．

解答：解：（1）對于拋物線y=x²-px+

p

2

-

1

4

，
將x=0，y=1代入得：

p

2

-

1

4

=1，即p=

5

2

，
∴拋物線解析式為y=x²-

5

2

x+1，
令y=0，得到x²-

5

2

x+1=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=2，
則拋物線與x軸交點的坐標(biāo)為（

1

2

，0）與（2，0）；
（2）∵△=p²-4（

p

2

-

1

4

）=p²-2p+1=（p-1）²≥0，
∴無論p為何值，拋物線與x軸必有交點；
（3）拋物線頂點坐標(biāo)為（

p

2

，-

p2

4

+

p

2

-

1

4

），
∵拋物線的頂點在x軸上，
∴-

p2

4

+

p

2

-

1

4

=0，
解得：p=1，
則此時頂點坐標(biāo)為（

1

2

，0）．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，拋物線與x軸的交點，以及頂點坐標(biāo)公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．