Question

【題目】如圖,OE,OF分別是△ABC中AB,AC邊的中垂線(即垂直平分線),∠OBC,∠OCB的平分線相交于點(diǎn)I,試判斷OI與BC的位置關(guān)系,并給出證明.

Answer 1

【答案】解:OI⊥BC.理由如下 ：
證明:如圖,連接AO,延長OI交BC于點(diǎn)M.

∵OE,OF分別為AB,AC的中垂線,∴OA=OB,OA=OC.∴OB=OC.
又∵BI,CI分別為∠OBC,∠OCB的平分線,∴點(diǎn)I必在∠BOC的平分線上.
∴∠BOI=∠COI.
∵OE,OF分別是△ABC中AB,AC邊的中垂線 ，
∴OA=OB,OA=OC;
∴ OB=OC
在△BOM和△COM中,

∴△BOM≌△COM(SAS).
∴∠BMO=∠CMO.
又∵∠BMO+∠CMO=180°,
∴∠BMO=∠CMO=90°，
∴OI⊥BC.
【解析】OI⊥BC.理由如下 ：如圖,連接AO,延長OI交BC于點(diǎn)M.根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)I必在∠BOC的平分線上，根據(jù)角平分線的定義得出∠BOI=∠COI.根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出OA=OB,OA=OC;根據(jù)等量代換得出 OB=OC，從而利用SAS判斷出△BOM≌△COM，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠BMO=∠CMO.根據(jù)平角的定義得出∠BMO+∠CMO=180°,從而得出∠BMO=∠CMO=90°，即OI⊥BC 。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解角的平分線的相關(guān)知識(shí)，掌握從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線，以及對(duì)角平分線的性質(zhì)定理的理解，了解定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．