Question

如圖：拋物線y=ax²-4ax+m與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（1，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；
（2）過點C作CP⊥對稱軸于點P，連接BC交對稱軸于點D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=ax²-4ax+m的對稱軸公式x=-

b

2a

，即可求得其對稱軸，又由點A、B關(guān)于對稱軸對稱，即可求得點B的坐標；
（2）由點A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥對稱軸，可得CP∥AB，易證得四邊形ABPC是平行四邊形，然后設(shè)點C（0，x）（x＜0），證得△BPD∽△BCP，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得x的值，又由二次函數(shù)過點A與C，利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式．

解答：解：（1）對稱軸是x=-

b

2a

=2，
∵點A（1，0）且點A、B關(guān)于x=2對稱，
∴點B（3，0）；

（2）點A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥對稱軸于P，
∴CP∥AB，
∵對稱軸是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四邊形ABPC是平行四邊形，
設(shè)點C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=

x2+1

，
∴BP=

x2+1

，
在Rt△BOC中，BC=

x2+9

，
∵

BD

BC

=

BE

BO

=

1

3

，
∴BD=

1

3

x2+9

，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴BP²=BD•BC，
即（

x2+1

）²=

1

3

x2+9

•

x2+9

，
∴x²+1=

1

3

（x²+9），
∴x₁=

3

，x₂=-

3

，
∵點C在y軸的負半軸上，
∴點C（0，-

3

），
∴y=ax²-4ax-

3

，
∵過點（1，0），
∴a-4a-

3

=0，
解得：a=-

3

3

．
∴拋物線解析式是：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x-

3

．

點評：此題考查了二次函數(shù)對稱軸的求解方法，二次函數(shù)的對稱性，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合的應用．