Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)P，O₁ O₂的延長(zhǎng)線交⊙O₂于點(diǎn)A，AB切⊙O₁于點(diǎn)B，交⊙O₂于點(diǎn)C．BE是⊙O₁的直徑，連結(jié)PE，過點(diǎn)B作BF⊥O₁P，垂足為F，延長(zhǎng)BF交PE于點(diǎn)G，連結(jié)BP．
（1）求證：PB是PG和PE的比例中項(xiàng)；
（2）若PF=2，sin∠O1BF=

3

5

，求⊙O₁、⊙O₂的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）可通過證三角形BPG和EPB相似來求證，這兩個(gè)三角形中已知了一個(gè)公共角，根據(jù)等邊對(duì)等角和等角的余角相等可得出另一組對(duì)應(yīng)角相等，得出兩三角形全等后即可得出本題所求的結(jié)論；
（2）根據(jù)sin∠O1BF=

3

5

，設(shè)O₁B=5x，BF=4x，O₁F=5x-2，在直角三角形O₁FB中，根據(jù)勾股定理有：O₁F²+BF²=O₁B²，求出x的值，進(jìn)而求出兩圓半徑．

解答：（1）證明：∵O₁P=O₁E，
∴∠E=∠O₁PE，
∵∠O₁PE+∠PGB=90°，∠PBG+∠PGB=90°，
∴∠PBG=∠O₁PG=∠E，
∵∠BPE=∠GPB，
∴△BPE∽△GPB，
∴

EP

BP

=

PB

PG

，即：PB²=PG•PE；

（2）解：∵∠A+∠AO₁B=∠O₁BF+∠AO₁B=90°，
∴∠O₁BF=∠A，
∵sin∠O1BF=

3

5

，
∴設(shè)O₁B=5x，BF=4x，O₁F=5x-2，
在直角三角形O₁FB中，根據(jù)勾股定理有：
O₁F²+BF²=O₁B²，
（5x-2）²+（4x）²=（5x）²，
解得x₁=1，x₂=

1

4

，
x=

1

4

時(shí)，5x-2＜0，不合題意舍去．
因此O₁B=O₁P=5×1=5．
在直角三角形AO₁B中，sin∠BAO₁=

3

5

．
因此AO₁=

25

3

，
AP=AO₁-O₁P=

25

3

-5=

10

3

，因此O₂的半徑為

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，注意巧妙利用勾股定理，設(shè)未知數(shù)列出方程．