【題目】問(wèn)題背景如圖,在四邊形ADBC中,∠ACB∠ADB90°,ADBD,探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系.

小吳同學(xué)探究此問(wèn)題的思路是:將ΔBCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到ΔAED處,點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)A、E處如圖),易證點(diǎn)C、A、E在同一條直線上,并且ΔCDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,從而得出結(jié)論:AC+BC=CD.

  圖①      圖②        圖④

簡(jiǎn)單應(yīng)用:

(1)在圖①中,若AC=,BC2,則CD .

2如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,弧AD=弧BD,若AB=13,BC12,求CD的長(zhǎng).

拓展延伸:

(3)如圖∠ACB∠ADB90°,ADBDACm,BCnm<n,求CD的長(zhǎng)(用含m,n的代數(shù)式表示).

【答案】(1) 3; (2)CD= ; (3) CD=.

【解析】試題分析:(1)由題意可知:AC+BC=CD,所以將AC與BC的長(zhǎng)度代入即可得出CD的長(zhǎng)度;

(2)連接AC、BD、AD即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第(1)問(wèn)的問(wèn)題,利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長(zhǎng)度;

(3)以AB為直徑作O,連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D1,由(2)問(wèn)題可知:AC+BC=CD1;又因?yàn)?/span>CD1=D1D,所以利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)度.

試題解析:(1)由題意知:AC+BC=CD,∴+2=CD, ∴CD=3;

(2)如圖3,連接AC、BD、AD

AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ACB=90,

AD=BD,∴AD=BD

AB=13,BC=12,∴由勾股定理得:AC=5,

由圖1得:AC+BC=CD,5+12=CD,∴CD= .

(3)解法一:以AB為直徑作⊙O,連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D1

連接D1A、D1BD1C、CD,如圖4,

由(2)得:AC+BC=D1C,∴D1C=2,

D1D是⊙O的直徑,∴∠D1CD=90,

AC=m,BC=n,∴由勾股定理可求得:AB2=m2+n2,∴D1D2=AB2=m2+n2

D1C2+DC2=D1D2,∴CD2=m2+n2=,

m<n,∴CD=;

解法二:如圖5,∵∠ACB=∠DB=90,

A、B. C.D在以AB為直徑的圓上,∴∠DAC=∠DBC

將△BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△AED處,點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)AE處,

∴△BCD≌△AED,∴CD=ED,∠ADC=∠ADE,

∴∠ADCADC=∠ADEADC,

即∠ADB=∠CDE=90,∴△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,

AC=mBC=n=AE,∴CE=nm,∴CD=.

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(2)點(diǎn)Q(8,m)在拋物線上,點(diǎn)P為此拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PQ+PB的最小值.

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x()

180

260

280

300

y()

100

60

50

40

(1)yx之間的函數(shù)表達(dá)式;

(2)已知每間入住的客房,賓館每日需支出各種費(fèi)用100元;每間空置的客房,賓館每日需支出各種費(fèi)用60元.當(dāng)房?jī)r(jià)為多少元時(shí),賓館當(dāng)日利潤(rùn)最大?求出最大利潤(rùn).(賓館當(dāng)日利潤(rùn)=當(dāng)日房費(fèi)收入-當(dāng)日支出)

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